线性代数--MIT18.06(二)
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- 线性代数 -- MIT18.06（一）：方程组的几何解释
- 线性代数 -- MIT18.06（十三）：第一部分复习
- 线性代数--MIT18.06（二十五）：第二部分复习
- 线性代数--MIT18.06（三十五）：总复习和概念速查表
2.矩阵消元
2.1 课程内容：矩阵消元、回代、矩阵乘法
上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵
来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法，即初等变换。
首先我们要有一个概念，对于线性系统来说，有三种等价的变化，即这三种变换不会改变线性系统的解
- 交换方程的顺序（Interchange any two equations in the system）
- 整个方程等号的左右两边同时乘以一个非零整数（Multiply any equation by a nonzero scalar）
- 将一个方程的常数倍加到另一个方程之上（Add a constant multiple of any equation to another）
以下列方程组为例，我们先使用矩阵消元法，然后回代方程即可求得所要的解：
对于系数矩阵
和解向量
,构建增广矩阵
下面对增广矩阵
进行消元：
其中，方框中的 1，2，5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0 。 下面通过回代求得线性方程组的解。
首先由增广矩阵的第三行可知，z=−2z=−2，将 z=−2 代入第二行可得 y=1，再将 z=−2,y=1 代入第一行可得 x=2
那么如何用矩阵来表示上述消元过程呢？
由上一讲的内容可知，对于
可以从行和列的角度去理解该乘法，消元法相当于是行变换，因此我们在系数矩阵
左乘相应的变换矩阵，即可表示出对于
的消元过程。
首先我们将系数矩阵
消元之后得到的上三角矩阵称为 U（upper triangular），即
将矩阵
第一次消元之后得到的矩阵称为
,即
那么消元过程就可以表示为
消元矩阵
左乘
表示
的每一行即为
的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第一步消元是
的第一行的−3 倍加到第二行，而第一行和第三行不变，因此
的第一行和第三行分别为 (1,0,0) 和 (0,0,1) ，第二行即为 (-3,1,0) ，即
消元矩阵
左乘
表示
的每一行即为
的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第二步消元是
的第二行的 −2 倍加到第三行，而第一行和第二行不变，因此
的第一行和第二行分别为 (1,0,0) 和 (0,1,0) ，第三行即为 (0,-2,1) ，即
而由矩阵乘法我们知道我们可以将这两步合并成一步，即可得
这就是矩阵消元的乘法表示
2.2 矩阵消元习题课
这是1999年秋季的测验题，
（http://open.163.com/movie/2016/4/O/J/MBKJ0DQ52_MBKJ0M8OJ.html）
利用矩阵消元法求解下列线性方程组：
解答
首先得到增广矩阵
为了得到第一行的主元，第二行需要加上第一行的 -2 倍，第四行减去第一行的 3 倍，即得到
此时第二行主元也已经OK，对第三行进行消元，即第三行加第二行的 0.5 倍即可，即得到
由于此时第三行主元为0，因此交换第三行和第四行，即得到
可表示为线性方程组
由下往上求解即可得
