线性代数--MIT18.06(二)

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1. 线性代数 -- MIT18.06（一）：方程组的几何解释
2. 线性代数 -- MIT18.06（十三）：第一部分复习
3. 线性代数--MIT18.06（二十五）：第二部分复习
4. 线性代数--MIT18.06（三十五）：总复习和概念速查表

2.矩阵消元

2.1 课程内容：矩阵消元、回代、矩阵乘法

上一讲我们对于线性方程组可以使用矩阵

来表示，这一讲求解该等式，对于矩阵，使用矩阵消元法，即初等变换。

首先我们要有一个概念，对于线性系统来说，有三种等价的变化，即这三种变换不会改变线性系统的解

• 交换方程的顺序（Interchange any two equations in the system）
• 整个方程等号的左右两边同时乘以一个非零整数（Multiply any equation by a nonzero scalar）
• 将一个方程的常数倍加到另一个方程之上（Add a constant multiple of any equation to another）

以下列方程组为例，我们先使用矩阵消元法，然后回代方程即可求得所要的解：

对于系数矩阵

和解向量

,构建增广矩阵

下面对增广矩阵

进行消元：

其中，方框中的 1，2，5 称为主元(pivot)，注意，主元不能为 0 。 下面通过回代求得线性方程组的解。

首先由增广矩阵的第三行可知，z=−2z=−2，将 z=−2 代入第二行可得 y=1，再将 z=−2,y=1 代入第一行可得 x=2

那么如何用矩阵来表示上述消元过程呢？

由上一讲的内容可知，对于

可以从行和列的角度去理解该乘法，消元法相当于是行变换，因此我们在系数矩阵

左乘相应的变换矩阵，即可表示出对于

的消元过程。

首先我们将系数矩阵

消元之后得到的上三角矩阵称为 U（upper triangular），即

将矩阵

第一次消元之后得到的矩阵称为

,即

那么消元过程就可以表示为

消元矩阵

左乘

表示

的每一行即为

的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第一步消元是

的第一行的−3 倍加到第二行，而第一行和第三行不变，因此

的第一行和第三行分别为 (1,0,0) 和 (0,0,1) ，第二行即为 (-3,1,0) ，即

消元矩阵

左乘

表示

的每一行即为

的每一行的线性组合的系数，由消元过程可知第二步消元是

的第二行的 −2 倍加到第三行，而第一行和第二行不变，因此

的第一行和第二行分别为 (1,0,0) 和 (0,1,0) ，第三行即为 (0,-2,1) ，即

而由矩阵乘法我们知道我们可以将这两步合并成一步，即可得

这就是矩阵消元的乘法表示

2.2 矩阵消元习题课

这是1999年秋季的测验题，

（http://open.163.com/movie/2016/4/O/J/MBKJ0DQ52_MBKJ0M8OJ.html）

利用矩阵消元法求解下列线性方程组：

解答

首先得到增广矩阵

为了得到第一行的主元，第二行需要加上第一行的 -2 倍，第四行减去第一行的 3 倍，即得到

此时第二行主元也已经OK，对第三行进行消元，即第三行加第二行的 0.5 倍即可，即得到

由于此时第三行主元为0，因此交换第三行和第四行，即得到

可表示为线性方程组

由下往上求解即可得