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3. 矩阵乘法和求解逆矩阵
3.1 课程内容:理解矩阵乘法和求解逆矩阵
3.1.1 矩阵乘法的四种方式
首先我们定义矩阵乘法 AB = C
3.1.2 Gauss-Jordan法求逆矩阵
在第一讲的最后我们提到,如果系数矩阵 A 的逆矩阵
存在的话, Ax = b 的解就可以由
得到 :
那么如何得到
? 我们知道
的形式,只不过 x 为 A 的逆矩阵
,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解,只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已,这就是Gauss-Jordan法。
以矩阵 A 为例
首先构建增广矩阵,之后逐步消元即可
上述过程我们有一个重要假设,那就是
存在,那么什么情况下它才存在呢?
存在,也就是说系数矩阵的各行或各列不能是线性相关的(某一 行/列 是其他 行/列 的线性组合)
不存在,为什么呢? 很简单的推理那就是,当 Ax=0 有非零解的时候,假设
存在,那么在等式两边都左乘
,即可得到
,这与我们的前提假设存在非零解所矛盾,因此
不存在。
3.2 矩阵乘法习题课
2011年练习题
问:当 a,b 满足什么条件下矩阵 A 存在逆矩阵,并求解该逆矩阵。