小朋友学算法（18）：交换机器的最小代价
一、问题描述
有N台机器重量各不相等，现在要求把这些机器按照重量排序，重量从左到右依次递增。移动机器只能做交换操作，但交换机器要花费一定的费用，费用的大小就是交换机器重量的和。例如：3 2 1，交换1 3后为递增排序，总的交换代价为4。 给出N台机器的重量，求将所有机器变为有序的最小代价（机器的重量均为正整数）。
输入 第1行：1个数N，表示机器及房间的数量。（2 <= N <= 50000) 第2 - N + 1行：每行1个数，表示机器的重量Wi。(1 <= Wi <= 10^9)
输出 最小代价
样例1输入
51 8 976样例1输出
41二、思路
以样例1例，先进行排序
下标 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
排序前 | 1 | 8 | 9 | 7 | 6 |
排序后 | 1 | 6 | 7 | 8 | 9 |
我们从元素1开始看，排序后元素1的位置还是1，那么就给1到1之间连一条边，形成一个自环；再到元素8，元素8排序以后到了第4个位置，而第四个位置是元素7，所以给8到7之间连一条有向边，同理连完剩下的边可以得到一张图：
那么我们可以发现两个环，那么我们回到题目中来，要使最后的总和最小，我们的贪心思路是什么？ 策略一： 对于每一个环的贪心思路就是，找到这个环中最小的那个点，也就是6，然后从6开始进行交换，6和9交换，可以使9到对应的位置，花费为6+9=15,然后6和7交换，花费为6+7=13，最后等到交换完毕，自最后的答案是什么呢？就是： (6+9)+(6+7)+(6+8) = (6+7+8+9)+6∗2 = 30+12 = 42。 剩下一个环不用交换，那么当前的最小值就是42，但是这不一定是最优解。 这种策略的解可表示为ans1 = sum + min * (cnt - 1)，这里min是当前环中的最小值，cnt是min与别的元素交换的次数。
策略二:
在这个图中找到一个最小的值，然后用这个值跟着当前的环进行交换，在这个图中很明显是1，我们让第1和第二个环中的最小值6进行交换，然后再像上面一样，交换1和9，花费为:1+9=10，交换1和7，花费为：1+7=8等到交换完毕，最后的结果是: (1+6)+(1+9)+(1+7)+(1+8)+(1+6) = (6+8+7+9)+1∗5+6 = 41 这种策略的解可表示为ans2 = sum + least * (cnt + 2) + min，这里least表示所有元素的最小值，min表示当前环中的最小值。 我们的贪心策略就是在这两个策略之间，找出一个最小值ans = min(ans1, ans2)。
三、代码
#include<iostream>#include<algorithm>#define MAXN 50010using namespace std;bool visited[MAXN]; //记录该位置的机器是否已经排好序int least;//记录最小重量struct machine{ int origin;//原来的位置 int weight;//机器的重量};machine mac[MAXN];bool cmp(machine a, machine b){ return a.weight < b.weight;}long long solve(int i){ visited[i] = true; int MIN = mac[i].weight; long long sum = mac[i].weight; int j = mac[i].origin; int cnt = 0; while(i != j) { sum += mac[j].weight; MIN = min(MIN,mac[j].weight); visited[j] = true; j = mac[j].origin; cnt++; //计算需要交换的机器数量 } return sum + min((long long)MIN*(cnt-1), (long long)least*(cnt+2)+MIN);//两种策略的比较}int main(){ int n; long long ans=0; cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>mac[i].weight; mac[i].origin=i; } sort(mac+1, mac+n+1, cmp); least = mac[1].weight; for(int i=1; i<=n; i++) { if(!visited[i]) { ans += solve(i); } } cout << ans << endl; return 0;}腾讯云开发者
