编程小知识之生成排列

本文简述了两种生成排列的方法

生成排列的方法不少,一种经典的方法就是采用递归,假设我们需要求解 1 ~ n 的所有排列,那么我们假设已经求解了 1 ~ n - 1 的所有排列,然后对于求解出的每一种排列(1 ~ n - 1 的一种排列),我们将 n 放置于该排列中可能的 n 个空位上,即可完成 1 ~ n 的排列求解.

说的有些抽象,举个实际的例子:

假设我们要求解 1 ~ 3 这三个数字的所有排列,并且我们已经求解出了 1 ~ 2 的所有排列,求解出的排列如下所示:

1,22,1 \begin{aligned} 1, 2 \\ 2, 1 \end{aligned} 1,22,1​

其中每个排列都有 3 个空位:

empty 1,empty 2 emptyempty 2,empty 1 empty \begin{aligned} \boxed{empty}\ 1, \boxed{empty}\ 2\ \boxed{empty} \\ \boxed{empty}\ 2, \boxed{empty}\ 1\ \boxed{empty} \end{aligned} empty​ 1,empty​ 2 empty​empty​ 2,empty​ 1 empty​​

我们将 3 依序填入每个空位即可完成 1 ~ 3 排列的求解:

3,1,21,3,21,2,33,2,12,3,12,1,3 \begin{aligned} \boxed{3}, 1, 2 \\ 1, \boxed{3}, 2 \\ 1, 2, \boxed{3} \\ \boxed{3}, 2, 1 \\ 2, \boxed{3}, 1 \\ 2, 1, \boxed{3} \end{aligned} 3​,1,21,3​,21,2,3​3​,2,12,3​,12,1,3​​

求解排列的另外一种思路,就是给每个可能的排列规定一个大小次序,仍然拿 1 ~ 3 的排列举例,我们可以规定:

1,2,3&lt;1,3,2&lt;2,1,3&lt;2,3,1&lt;3,1,2&lt;3,2,1 \begin{aligned} &amp; 1, 2, 3 &lt; 1, 3, 2 &lt; 2, 1, 3 &lt; 2, 3, 1 &lt; 3, 1, 2 &lt; 3, 2, 1 \end{aligned} ​1,2,3<1,3,2<2,1,3<2,3,1<3,1,2<3,2,1​

即排列 1,2,31, 2, 31,2,3 最小,排列 3,2,13, 2, 13,2,1 最大,扩展到 1 ~ n 的排列来讲,如果给定一个现有排列(初始即为 1 ~ n 的顺序排列: 1,2,3,...,n1, 2, 3, ..., n1,2,3,...,n),我们生成大于该排列的最小排列,依次进行下去便可生成所有排列.

那么如何生成大于该排列的最小排列呢?方法如下:

假设当前给定的排列为 a1,a2,a3,a4,...ana_1, a_2, a_3, a_4, ... a_na1​,a2​,a3​,a4​,...an​

1. 从后(ana_nan​ 开始)往前查找,找到第一个满足 ai&lt;ai+1a_i &lt; a_{i+1}ai​<ai+1​ 的元素
2. 再次从后(ana_nan​ 开始)往前查找,找到第一个满足 aj&gt;aia_j &gt; a_iaj​>ai​ 的元素(aia_iai​ 为上一步骤的结果元素)
3. 交换 aia_iai​ 和 aja_jaj​
4. 将 ai+1a_{i+1}ai+1​ 至 ana_nan​ 的元素重新排序

(这里我们只给出了过程描述,更多细节大家可以参考相关书籍)

有了算法步骤,我们便可以进行代码实现了,过程中有两点值得一提:

• 如果第 1 步中找不到满足 ai&lt;ai+1a_i &lt; a_{i+1}ai​<ai+1​ 的元素怎么办?这种情况会出现在元素逆序的排列中(譬如排列: 3,2,13, 2, 13,2,1),处理方法很简单,我们直接跳过 2, 3 步骤,直接执行第 4 步中的排序即可,由于此时元素是逆序的,我们直接反转(reverse)排列元素即可完成排序(排序之后排列又回到了"原点").
• 如果正常进行了 1, 2, 3 这三个步骤,第 4 步中的重新排序操作我们仍然可以通过直接反转(reverse)排列元素来完成:

考虑第 1 步骤的操作,当找到目标元素 aia_iai​ 时,我们可知以下元素关系:

ai&lt;ai+1&gt;ai+2&gt;ai+3&gt;...&gt;an a_i &lt; a_{i+1} &gt; a_{i+2} &gt; a_{i+3} &gt; ... &gt; a_n ai​<ai+1​>ai+2​>ai+3​>...>an​

考虑第 2 步骤的操作,当找到目标元素 aja_jaj​ 时,我们可知以下元素关系:

...&gt;aj−1&gt;aj&gt;ai&gt;aj+1&gt;... ... &gt; a_{j-1} &gt; a_j &gt; a_i &gt; a_{j+1} &gt; ... ...>aj−1​>aj​>ai​>aj+1​>...

第 3 步骤我们执行了 aia_iai​ 与 aja_jaj​ 的交换,根据之前的元素关系,我们可知:

aj&lt;ai+1&gt;ai+2&gt;...&gt;aj−1&gt;ai&gt;aj+1&gt;...&gt;an \boxed{a_j} &lt; a_{i+1} &gt; a_{i+2} &gt; ... &gt; a_{j-1} &gt; \boxed{a_i} &gt; a_{j+1} &gt; ... &gt; a_n aj​​<ai+1​>ai+2​>...>aj−1​>ai​​>aj+1​>...>an​

所以 ai+1a_{i+1}ai+1​ 至 ana_nan​ 间的元素在 1, 2, 3 步骤之后仍然是逆序关系,自然我们就可以通过直接反转(reverse)这些元素来对它们进行排序了,最终的示例代码如下:

// C#
public static List<int> NextPermutation(List<int> curPermutation)
{
    var swapIndex = -1;

    var index = curPermutation.Count - 2;
    while (index >= 0)
    {
        if (curPermutation[index] < curPermutation[index + 1])
        {
            swapIndex = index;
            break;
        }
        --index;
    }

    if (swapIndex >= 0)
    {
        // valid swap index, swap with the rest smallest big number
        var swapElement = curPermutation[swapIndex];
        var smallIndex = swapIndex + 1;
        for (int i = curPermutation.Count - 1; i >= swapIndex + 2; --i)
        {
            if (curPermutation[i] > swapElement)
            {
                smallIndex = i;
                break;
            }
        }

        // do swap
        curPermutation[swapIndex] = curPermutation[smallIndex];
        curPermutation[smallIndex] = swapElement;
    }

    // do sort
    var startIndex = swapIndex + 1;
    var endIndex = curPermutation.Count - 1;
    while (endIndex > startIndex)
    {
        var temp = curPermutation[startIndex];
        curPermutation[startIndex] = curPermutation[endIndex];
        curPermutation[endIndex] = temp;
        ++startIndex;
        --endIndex;
    }

    return curPermutation;
}