动态编程：二项式序列

今天，我终于理解了帕斯卡 三角的实际应用。帕斯卡序列是我在大学第一年编程实现的东西。这是一个很有趣的练习。它是一种找到规律并用C或Java编程实现的问题。

动态规划问题可以是非常难的。二项式序列和它的变种问题一直都是我的短板。我从没简单地得到答案，有时即使我有了想法，也不能直接写出可以工作的代码。这是为什么我这次决定尝试一种新的动态规划方法，并且阅读Skiena的前八章。在阅读的过程中，问题被探讨，并且我一下豁然开朗。二项式，帕斯卡三角和动态规划之间的联系被重新建立起来。讽刺的是，我一直困惑的问题，二项式问题的变种的答案，就是我写的第一个程序，帕斯卡三角。

帕斯卡三角

帕斯卡三角如上图所示。其中每一个元素都是它正上面两个数字之和。问题就是，什么叫“正上方”？这样的东西要如何在代码中表达？

如果我们用图中的6作为例子，它正上方的两个数字是3和3. 6在第4行，第3列。两个3在上一行--第三行，第二和第三列。同样的规律也适用于第五行的两个10. 现在，我们能够提取的规律是--- 第[n, k] 个元素是 第 [n-1 , k] , [n-1, k-1]个元素的和。

那么，这和二项式原理有什么关系呢？回想一下，二项式数是像这样的：

二项式序列

这个的物理意义是：如果我们从n 个元素中选取k 个元素。我们既可以先选择第n 个元素，然后从剩下n- 1个元素中选取 k-1 个，也可以丢掉第n 个元素，从剩下n-1 个元素中选取k 个。我们在帕斯卡三角中看到的对称性在这里很明显。

现在来用代码实现它。如果我们把每个 nCk 的结果存进一个矩阵中，我们可以更高效地计算高维序列。很明显，一个值被计算好后，它会被保存起来给后续的运算使用。这很有记忆化的潜力！

我们先从二项式序列的递归解开始。这里面可以观察到明显的递归关系。对于任何递归函数，初始值都是必须的。对于二项式序列，我们用从n个元素中选取0个元素的情况当作初始值。这样的选择只有一种方法：空集。

另一种初始情况是：从n 个元素集中选取全部的n 个元素，只有一种方法。最后，从n个元素中选取1个，有n种方法。这就是我们需要的所有初始情况。

递归解如下图所示：

二项式序列-递归解

注意上面的解法中有很多被重复计算的子问题。为了避免重复计算，我们把中间结果存在一个矩阵中。我们来用一种遍历的方法来实现它。我们先用上文提到的初始情况来填充矩阵。（图中我用了简单的方法，把所有值都初始化为1。这有些浪费）这里只有从n 中取1的情况没被表示。我们要计算得到这种情况。用python 实现的遍历解法如下图所示：

二项式序列--遍历解

运行的结果如下图所示：

输出结果

在这篇文章中，我们讨论了二项式序列和它与帕斯卡三角之间的关系。我们沿着这个关系，并且意识到有时连接一些点要花10年。我们还讨论了同样解的递归和遍历方法。我很推荐阅读Skiena 和 CLRS 来学习你不熟悉的算法。