t检验的几种应用案例

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前言

在平时的工作或学习中可能会碰到统计学中的假设检验问题，如常见的卡方检验、t检验以及正态性检验等，而这些检验的目的都是为了论证某个设想，并通过统计学的方法做解释。本期内容我们将跟大家分享几种常规的t检验的方法，以及这些方法的应用案例。

例如，工商局在检验某厂商生成的矿泉水时，需要验证矿泉水的净含量是否如厂商所说的550ml？在某次校园体检中，校长很关心初二年级和初三年级学生在视力方面是否存在一定的差异？在医学领域中，可能需要为患者采取不同的医疗手段，对比患者在使用某种新型药物前后，对病情的治疗是否有显著的差异？

理论与应用

t检验，通常会应用于三种情况的检验，分别是单样本t检验、双样本t检验和配对样本t检验。这三种检验分别对应了上文所提到的三个问题的解答，接下来将结合简单的案例，介绍三种t检验的相关知识点和落地方法。

一、单样本t检验

单样本t检验也称为样本均值（xbar）和总体均值（μ）的比较性检验，对于该检验方法而言，要求样本满足两个前提假设，分别是样本服从正态分布假设，以及样本之间满足独立性假设（即样本之间不存在相关性）。下面利用统计学中的四步法完成单样本t检验： 步骤一：提出原假设和备择假设

步骤二：构造t统计量

其中，s为样本标准差。在原假设满足的情况下，t统计量服从自由度为n-1的t分布。

步骤三：计算t统计量

如下表所示，为某饮料抽样后得到的实际净含量数据（饮料净含量的总体均值为550ml）。可基于如上介绍的t统计量计算公式，得到对于的t统计量值。

根据如上数据，可计算样本均值xbar为550.75，样本标准差s为4.25，所以t统计量的值为0.706。

步骤四：对比结果下结论

对比计算的t统计量和理论t分布的临界值，如果统计量的值大于临界值，则拒绝原假设（即认为样本均值与总体均值之间存在显著的差异），否则接受原假设。参照t分布的临界值表，在置信水平为0.05，自由度为15的情况下，对应的临界值为0.821。对比发现，t统计量0.706是小于临界值0.821的，故不能拒绝原假设，即认为饮料净含量的检验结果是合格的。

在平时的学习或工作中，如需使用Python完成单样本t检验的落地，可以调用scipy的子模块stats中的ttest_1samp函数。接下来利用ttest_1samp函数，对如上介绍的饮料净含量数据作单样本t检验操作，代码如下：

# 导入子模块
from scipy import stats
# 饮料净含量数据
data = [558,551,542,557,552,547,551,549,548,551,553,557,548,550,546,552]
# 单样本t检验
stats.ttest_1samp(a = data, # 指定待检验的数据
               popmean = 550, # 指定总体均值
# 指定缺失值的处理办法（如果数据中存在缺失值，则检验结果返回nan）
               nan_policy = 'propagate' 
               )

out: Ttest_1sampResult(statistic=0.7058009503746899, pvalue=0.49112911593287567)

如上结果所示，ttest_1samp函数返回两部分的结果，一部分是t统计量，另一部分是概率p值。其中，t统计量与上文手工计算的结果一致，从概率p值来看，其值大于0.05，故不能拒绝原假设。

二、独立样本t检验

独立样本t检验，是针对两组不相关样本（各样本量可以相等也可以不相等），检验它们在某数值型指标上，均值之间的差异。对于该检验方法而言，同样需要满足两个前提假设，即样本服从正态分布，且样本之间不存在相关性。与单样本t检验相比，还存在一个非常重要的差异，就是构造t统计量时需要考虑两组样本的方差是否满足齐性（即方差相等）。下面利用统计学中的四步法完成独立样本的t检验： 步骤一：提出原假设和备择假设

步骤二：构造t统计量

当两组样本的方差相等时

其中，n1为样本组1的样本量，n2为样本组2的样本量，

由两组样本的方差构成，它的计算公式为：

在原假设满足的情况下，t统计量服从自由度为n1+n2-2的t分布。

当两组样本的方差不相等时

其中，df为方差不相等时，t统计量的自由度，其计算公式如下：

步骤三：计算t统计量

根据步骤二中的计算公式，便可以轻松地得到t统计量的值，这里不妨以前文介绍的服务员小费数据为例，判断男女顾客在支付小费金额上是否存在显著差异。需要注意的是，在计算t统计量之前，应该检验两样本之间的方差是否相等。

读者在使用Python时，可以借助于scipy子模块stats中的levene函数实现方差齐性的检验，借助于ttest_ind函数实现独立样本t检验。接下来结合这两个函数，完成小费金额的t检验，代码及输出结果如下：

# 男性客户支付的小费
male_tips = tips.loc[tips.sex == 'Male', 'tip']
# 男性客户支付的小费
female_tips = tips.loc[tips.sex == 'Female', 'tip']

# 检验两样本之间的方差是否相等
stats.levene(male_tips, female_tips)

out: LeveneResult(statistic=1.9909710178779405, pvalue=0.1595236359896614)

步骤四：对比结果下结论

如上结果所示，经过方差齐性检验后，发现统计量所对应的概率p值大于0.05，说明两组样本之间的方差满足齐性。所以，在计算t统计量的值时，应该选择方差相等所对应的公式。

三、配对样本t检验

配对样本t检验，是针对同一组样本在不同场景下，某数值型指标均值之间的差异。实际上读者也可以将该检验理解为单样本t检验，检验的是两配对样本差值的均值是否等于0，如果等于0，则认为配对样本之间的均值没有差异，否则存在差异。所以，该检验也遵循两个前提假设，即正态性分布假设和样本独立性假设。下面利用统计学中的四步法完成配对样本的t检验： 步骤一：提出原假设和备择假设

步骤二：构造t统计量

其中，xbar为配对样本差的均值，s为配对样本差的标准差。在原假设满足的情况下，t统计量服从自由度为n-1的t分布。

步骤三：计算t统计量

根据步骤二中的计算公式，可以计算得到配对样本t检验的统计量值，这里不妨以我国各省2016年和2017年的人均可支配收入数据为例（数据来源于中国统计局），判断2016年和2017年该指标是否存在显著差异。读者既可以选择实现单样本t检验的ttest_1samp函数，也可以直接选择实现配对样本t检验的ttest_rel函数。接下来结合这两个函数，完成可支配收入的t检验，代码如下：

# 读取人均可支配收入数据
ppgnp = pd.read_excel(r'C:\Users\Administrator\Desktop\PPGNP.xlsx')

# 计算两年人均可支配收入之间的差值
diff = ppgnp.PPGNP_2017-ppgnp.PPGNP_2016
# 使用ttest_1samp函数计算配对样本的t统计量
stats.ttest_1samp(a = diff, popmean = 0)
out:
Ttest_1sampResult(statistic=13.983206457471795, pvalue=1.1154473504425075e-14)

# 使用ttest_rel函数计算配对样本的t统计量
stats.ttest_rel(a = ppgnp.PPGNP_2017, b = ppgnp.PPGNP_2016)

out: Ttest_relResult(statistic=13.983206457471795, pvalue=1.1154473504425075e-14)

步骤四：对比结果下结论

在步骤三中，不论采用单样本的t检验方法，还是采用配对样本的t检验方法，得到的t统计量都是相同的。从结果来看，由于概率p值远远小于0.05，故不能接受原假设，即认为2016年和2017年我国人均可支配收入是存在显著差异的。

结语

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