牛顿迭代法求解平方根
一个实例
//java实现的sqrt类和方法
public class sqrt {
public static double sqrt(double n)
{
if (n<0) return Double.NaN;
double err = 1e-15;
double t = n;
while (Math.abs(t - n/t) > err*t)
t = (n/t + t)/2;
return t;
}
public static void main(String[] args)
{
sqrt a = new sqrt();
System.out.println(a.sqrt(2));
}
}
//2的平方根的求解结果
>>1.414213562373095迭代简介
迭代，是一种数值方法，具体指从一个初始值，一步步地通过迭代过程，逐步逼近真实值的方法。 与之相对的是直接法，也就是通过构建解析解，一步求出问题的方法。
通常情况下，我们总是喜欢一步得到问题的结果，因此直接法总是优先考虑的。 但是，当遇到复杂的问题时，特别在未知量很多，方程非线性时，无法得到直接解法（例如五次方程并没有解析解）。 这时候，我们需要使用迭代算法，一步步逼近，得到问题的答案。
迭代算法，通常需要考虑如下问题： - 确定迭代变量 - 确定迭代关系式 - 确定迭代终止条件
牛顿迭代法
牛顿迭代法简介
牛顿迭代法，求解如下问题的根xx
f(x)=0
f(x) = 0
求解方法如下：
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
方法中，迭代变量是根xx，迭代关系式如上，迭代终止条件是|f(xn)−0|<error\vert f(x_n)-0 \vert <error 。
牛顿迭代法需要满足的条件是： f′(x)f'(x)是连续的，并且待求的零点xx是孤立的。 那么，在零点xx周围存在一个区域，只要初始值x0x_0位于这个邻域内，那么牛顿法必然收敛。 并且，如果f′(x)f'(x)不为0，那么牛顿法将具有平方收敛的特性，也就是，每迭代一次，其结果的有效倍数将增加一倍。
简单推导
由
f′(xn)=dydx=f(xn)xn−xn+1
f'(x_n) = \frac{dy}{dx} = \frac{f(x_n)}{x_n - x_{n+1}}
有
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
对于平方根问题，假设f(x)=x2−nf(x) = x^2 -n，代入上式，有
xn+1=12(xn+nxn)
x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{n}{x_n})
其图像含义是：通过对接近零点的领域点做切线，不断逼近零点，最终十分靠近零点。
泰勒公式推导
上面的式子，同样，可以用泰勒公式推导出来。
f(xn+ϵ)=f(xn)+f′(xn)ϵ+12f″(x)ϵ2+...
f(x_n + \epsilon) = f(x_n) + f'(x_n)\epsilon + \frac{1}{2}f''(x)\epsilon^2+... 只取等号右边的前两项，有
ϵ=f(xn+ϵ)−f(xn)f′(xn)
\epsilon = \frac{f(x_n+\epsilon)-f(x_n)}{f'(x_n)} 两边同时加上xnx_n，有
xn+1=xn+ϵ=xn+f(xn+ϵ)−f(xn)f′(xn)=xn+f(xn+1)−f(xn)f′(xn)
x_{n+1} = x_n + \epsilon = x_n +\frac{f(x_n+\epsilon)-f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n +\frac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{f'(x_n)} 最终，f(xn+1=0)f(x_{n+1}=0)，假设f(x)=x2−nf(x) = x^2 -n，上式同样可以化成
xn+1=12(xn+nxn)
x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{n}{x_n})
本质上，牛顿迭代法就是利用了泰勒公式的前两项和，是泰勒公式的简化。
延伸与应用
同样的，牛顿迭代法同样可以求n次方根，对于f(x)=xm−nf(x)=x^m - n 有
xn+1=xn−xnm(1−axn−m)
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n}{m}(1-a{x_n}^{-m})