ISLR线性回归笔记
一个例子
根据Auto数据集中的数据，建立mpg~hoursepower之间的线性关系。
问题
有如下的问题：
- 在XX和YY之间是否存在关系？
- 在XX和YY之间关系的强度如何？
- 在XX和YY之间关系是正相关还是负相关？
- 当horsepower是98时，95%的置信区间和预测区间分别是多少？
- 画出线性回归图
- 画出诊断图
答案
1.先对数据做初步的描述性分析
对单个的predicter做是否有效（不等于0）的检验可以使用t-test，但是对整体做是否有效（至少有一个系数不等于0）则需要用F-test。
由上图中，F-statistic：599.7 on 1 and 390 DF， p-value<2.2e-16。 假定虚无假说（所有的系数都为0）为真，因为F检定远远大于1并且其对应的p值非常靠近0，因此我们拒绝虚无假说，承认数据显著性（statistically significant），predicter和responser之间是有关系的。
2.判断模型的强弱有两种方法（RSE和R2）
- RSE：mpg的平均值为23.4459184，lm.fit的RSE（residual standard error）为4.906，两者相除表明残差率为20.92%。
- R2：lm.fit的R2为0.606，意味着mpg有60.6%的方差可以被horsepower解释。
3.相关关系是负相关，因为horsepower的coefficient系数为负。
4.置信区间和预测区间如下
5.线性回归图如下
6.诊断图如下
线性回归
回归概述
Y=β0+β1X+ϵ
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon
ϵ\epsilon项捕获了所有的误差情况，例如模型非线性、X包含不完全、测量误差等。同时默认误差项ϵ\epsilon独立于XX。
一些参数
RSS(residual sum of squares)
RSS=e21+e22+...+e2n
RSS=e_1^2+e_2^2+...+e_n^2
用样本参数去估计群体参数有多精确，引入了standard error of μ̂ \hat{\mu}
Var(μ̂ )=SE(μ̂ )2=σ2n
Var(\hat{\mu})=SE(\hat{\mu})^2 = \frac{\sigma^2}{n}
其值域会随着n的增大皱缩，表示了估计量到真实量之间的距离。
对于线性回归
其中，σ2=Var(ϵ)\sigma^2=Var(\epsilon)。为了让上式有效，应该假定误差项ϵ\epsilon独立不相关且方差一样，但即使不满足问题也不是特别大。 同时，注意到当x分布越广，SE(β1^)SE(\hat{\beta1})越小。这和我们的直觉相符合：当数据分布越广泛，对斜率的估计越准确。
值得注意的是，虽然σ2\sigma^2（误差项的方差）未知，但是可以从数据集中估计出来，使用的方法为residual standard error，其公式为
RSE=RSS/(n−2)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
RSE = \sqrt{RSS/(n-2)} RSE可以被用来计算置信区间（confidence intervals），95%的置信区间意味着有95%的概率区间包含真实值，区间具体为
β1^±2∗SE(β1^)
\hat{\beta_1} \pm 2*SE(\hat{\beta1})
同时，SE(β1^)SE(\hat{\beta1})还可以进行系数的假设检验，即是否系数离0足够远。如果SE(β1^)SE(\hat{\beta1})比较小，那么即使比较小的系数值，检验结果也可能是数据显著的。
通常，我们计算t统计量。
t=β1^−0SE(β1^)
t = \frac{\hat{\beta_1}-0}{SE(\hat{\beta1})} 上式测量了β1\beta_1距离0有多少个SE(β1^)SE(\hat{\beta1})。如果X和Y真的没有关系，那么我们期望t值会有n-2自由度的t分布（钟形曲线，如果n>30则很接近正态曲线）。
模型精度
RSE
RSE(residual standard error)
RSE=RSS/(n−2)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
RSE = \sqrt{RSS/(n-2)} RSE通常被认为the lack of fit of the model。如果RSE很小，一般认为模型与数据配合地很好。
R2R^2
R2=TSS−RSSTSS
R^2 = \frac{TSS-RSS}{TSS} R2可以用来衡量多个变量的共同作用效果，相关系数cor一般用来衡量一对变量的相关性。
重要的问题
X和Y之间是否存在关系
使用F检定
F=(TSS−RSS)/pRSS/(n−p−1)
F = \frac{(TSS-RSS)/p}{RSS/(n-p-1)} F足够大于1则可以证明数据显著性，更具体可以使用p-value。
决定重要的变量
- forward selection：从0变量开始逐个重复增加变量。
- back selection: 从全模型开始移除最大的P值变量。
- mixed selection：先增加，增加的过程中删除变大的且不满足p值要求的变量。
模型拟合
当加入新的变量，R2总是提高的，但是RSE不一定，两者都要参考决定适合的模型。
预测
预测区间比置信区间更广。
协同作用
hierarchical principle所述：如果我们包含了两个变量的协同作用，那么初始作用也得包括，即使p值检定不是数据显著。
非线性关系
可以利用多项式构建非线性关系。
潜在的问题
非线性
我们可以尝试logX,X‾‾√,X2log X,\sqrt{X},X^2等非线性参数。
误差项的相关性
如果误差项相关，那么置信区间将会比应该的更窄，变得没有保障。
误差项的非常数
遇到上述情况，可以使用logY、Y‾‾√logY、\sqrt{Y}。
越值点
通常把studentized residual>3的点认为是outlier。
杠杆点
越值点只有杠杆足够大时，才有很大的效果。
共线性
共线性会导致最值的RSS的范围变大，导致系数估计的不确定性增大（置信区间变大），SE(β)SE(\beta)变大，t值变小，很可能导致显著性检验失败，偏向于虚无假设。
检查共线性，有两种方法： 1.相关矩阵：适应与成对变量的共线性 2.VIF（variance inflation factor），其超过5和10则意味着共线性的存在。
线性回归与KNN的比较
线性回归是参数性的方法，事先假定了模型，KNN则不然，其K值越小，灵活性越大，意味着更高的variance和更小的bias。
理论上，非参数的方法在线性情况下略差于LR，在非线性的情况下极好于LR。 但是，现实情况一般是高维的，维度的增高对LR的MSE影响较小，但是对KNN的影响极大，在高维空间中会造成样本数的相对减少，名之curse of dimension。