高等数学 1.导数定义:
导数和微分的概念
f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}
(1)
或者:
f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}
(2)
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数
在
处的左、右导数分别定义为:
左导数:
{{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)
右导数:
{{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数
在
处可微
在
处可导
Th2: 若函数在点
处可导,则
在点
处连续,反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3:
存在
\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})
4.平面曲线的切线和法线
切线方程 :
y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})
法线方程:
y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0
5.四则运算法则
设函数
]在点
可导则
(1)
(2)
(3)
(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)
d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}
6.基本导数与微分表
(1)
(常数)
(2)
(
为实数)
{y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}
dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx
(3)
特例:
({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}
d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx
(4)
特例:
(5)
(6)
(7)
{y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x
d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx
(8)
{y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x
d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx
(9)
(10)
d(\csc x)=-\csc x\cot xdx
(11)
{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}
d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx
(12)
{y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}
d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx
(13)
{y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}
d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx
(14)
y=\operatorname{arc}\cot x
{y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}
d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx
(15)
(16)
7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1) 反函数的运算法则: 设
在点
的某邻域内单调连续,在点
处可导且
,则其反函数在点
所对应的
处可导,并且有
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
(2) 复合函数的运算法则:若
在点
可导,而
在对应点
(
)可导,则复合函数
在点
可导,且
{y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)
(3) 隐函数导数
的求法一般有三种方法:
1)方程两边对
求导,要记住
是
的函数,则
的函数是
的复合函数.例如
,
,
,
等均是
的复合函数.
对
求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由
知
\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}
,其中,
,
分别表示
对
和
的偏导数
3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
(1)
({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}
(2)
(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
(3)
(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
(4)
({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}
(5)
(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}
(6)莱布尼兹公式:若
均
阶可导,则
{{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}
,其中
,
9.微分中值定理,泰勒公式
Th1: (费马定理)
若函数
满足条件:
(1)函数
在
的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
或
,
(2)
在
处可导,则有
Th2: (罗尔定理)
设函数
满足条件:
(1)在闭区间
上连续;
(2)在
内可导;
(3)
;
则在
内一存在个
,使
Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数
满足条件:
(1)在
上连续;
(2)在
内可导;
则在
内一存在个
,使
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )
Th4: (柯西中值定理)
设函数
,
满足条件:
(1) 在
上连续;
(2) 在
内可导且
,
均存在,且
则在
内存在一个
,使
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}
10.洛必达法则
法则Ⅰ (
型)
设函数
f\left( x \right),g\left( x \right)
满足条件:
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0
;
f\left( x \right),g\left( x \right)
在
的邻域内可导,(在
处可除外)且
{g}'\left( x \right)\ne 0
;
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
存在(或
)。
则:
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
。
法则
(
型)设函数
f\left( x \right),g\left( x \right)
满足条件:
\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0
;
存在一个
,当
时,
f\left( x \right),g\left( x \right)
可导,且
{g}'\left( x \right)\ne 0
;
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
存在(或
)。
则:
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
法则Ⅱ(
型) 设函数
f\left( x \right),g\left( x \right)
满足条件:
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty
;
f\left( x \right),g\left( x \right)
在
的邻域内可导(在
处可除外)且
{g}'\left( x \right)\ne 0
;
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
存在(或
)。则
\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.
同理法则
(
型)仿法则
可写出。
11.泰勒公式
设函数
在点
处的某邻域内具有
阶导数,则对该邻域内异于
的任意点
,在
与
之间至少存在
一个
,使得:
f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots
+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)
其中
{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}
称为
在点
处的
阶泰勒余项。
令
,则
阶泰勒公式
f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)
……(1)
其中
{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}
,
在0与
之间.(1)式称为麦克劳林公式
常用五种函数在
处的泰勒公式
(1)
{{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}
或
=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})
(2)
\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )
或
=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})
(3)
\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )
或
=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})
(4)
\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}
或
=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})
(5)
{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}
+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}
或
{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots
+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})
12.函数单调性的判断
Th1: 设函数
在
区间内可导,如果对
,都有
(或
),则函数
在
内是单调增加的(或单调减少)
Th2: (取极值的必要条件)设函数
在
处可导,且在
处取极值,则
。
Th3: (取极值的第一充分条件)设函数
在
的某一邻域内可微,且
(或
在
处连续,但
不存在。)
(1)若当
经过
时,
由“+”变“-”,则
为极大值;
(2)若当
经过
时,
由“-”变“+”,则
为极小值;
(3)若
经过
的两侧不变号,则
不是极值。
Th4: (取极值的第二充分条件)设
在点
处有
,且
,则 当
时,
为极大值;
当
时,
为极小值。
注:如果
,此方法失效。
13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若
\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b
,或
\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b
,则
称为函数
的水平渐近线。
(2)铅直渐近线 若
\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty
,或
\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty
,则
称为
的铅直渐近线。
(3)斜渐近线 若
a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]
,则
称为
的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理)若在I上
(或
),则
在I上是凸的(或凹的)。
Th2: (拐点的判别定理1)若在
处
,(或
不存在),当
变动经过
时,
变号,则
为拐点。
Th3: (拐点的判别定理2)设
在
点的某邻域内有三阶导数,且
,
,则
为拐点。
15.弧微分
16.曲率
曲线
在点
处的曲率
k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}
。
对于参数方程
\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$$k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}
。
17.曲率半径
曲线在点
处的曲率
与曲线在点
处的曲率半径
有如下关系:
。
线性代数 行列式 1.行列式按行(列)展开定理
(1) 设
A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}
,则:
a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}
或
a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}
即
AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,
其中:
A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}
D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})
(2) 设
为
阶方阵,则
\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|
,但
\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|
不一定成立。
(3)
\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|
,
为
阶方阵。
(4) 设
为
阶方阵,
|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}
(若
可逆),
(5)
\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|
,
为方阵,但
\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|
。
(6) 范德蒙行列式
D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})
设
是
阶方阵,
\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)
是
的
个特征值,则
|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}
矩阵 矩阵:
个数
排成
行
列的表格
\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}
称为矩阵,简记为
,或者
\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}
。若
,则称
是
阶矩阵或
阶方阵。
矩阵的线性运算
1.矩阵的加法
设
A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})
是两个
矩阵,则
矩阵
C = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}
称为矩阵
与
的和,记为
。
2.矩阵的数乘
设
是
矩阵,
是一个常数,则
矩阵
称为数
与矩阵
的数乘,记为
。
3.矩阵的乘法
设
是
矩阵,
是
矩阵,那么
矩阵
,其中
c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}
称为
的乘积,记为
。
4.
、
、
三者之间的关系
(1)
{(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}
(2)
\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},
但
{(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}
不一定成立。
(3)
\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)
,
\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},
\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)
但
\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}
不一定成立。
(4)
{(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}
5.有关
的结论
(1)
(2)
|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)
(3) 若
可逆,则
A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A
(4) 若
为
阶方阵,则:
r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}
6.有关
\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}
的结论
可逆
\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;
可以表示为初等矩阵的乘积;
\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0
。
7.有关矩阵秩的结论
(1) 秩
=行秩=列秩;
(2)
r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);
(3)
A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1
;
(4)
r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);
(5) 初等变换不改变矩阵的秩
(6)
r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),
特别若
则:
(7) 若
存在
\Rightarrow r(AB) = r(B);
若
存在
\Rightarrow r(AB) = r(A);
若
r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);
若
r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)
。
(8)
r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0
只有零解
8.分块求逆公式
\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}
;
\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}
;
\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}
;
\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}
这里
,
均为可逆方阵。
向量 1.有关向量组的线性表示
(1)
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性相关
至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2)
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性无关,
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
,
线性相关
可以由
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
唯一线性表示。
(3)
可以由
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性表示
\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)
。
2.有关向量组的线性相关性
(1)部分相关,整体相关;整体无关,部分无关.
(2) ①
个
维向量
\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}
线性无关
\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0
,
个
维向量
\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}
线性相关
\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0
。
②
个
维向量线性相关。
③ 若
\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}
线性无关,则添加分量后仍线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关。
3.有关向量组的线性表示
(1)
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性相关
至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2)
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性无关,
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
,
线性相关
可以由
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
唯一线性表示。
(3)
可以由
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性表示
\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)
4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
设
,则
的秩
与
的行列向量组的线性相关性关系为:
(1) 若
r(A_{m \times n}) = r = m
,则
的行向量组线性无关。
(2) 若
r(A_{m \times n}) = r < m
,则
的行向量组线性相关。
(3) 若
r(A_{m \times n}) = r = n
,则
的列向量组线性无关。
(4) 若
r(A_{m \times n}) = r < n
,则
的列向量组线性相关。
5.
维向量空间的基变换公式及过渡矩阵
若
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}
与
\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}
是向量空间
的两组基,则基变换公式为:
(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C
其中
是可逆矩阵,称为由基
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}
到基
\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}
的过渡矩阵。
6.坐标变换公式
若向量
在基
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}
与基
\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}
的坐标分别是
X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}
,
Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}
即:
\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}
,则向量坐标变换公式为
或
,其中
是从基
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}
到基
\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}
的过渡矩阵。
7.向量的内积
(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha
8.Schmidt正交化
若
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
线性无关,则可构造
\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}
使其两两正交,且
仅是
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}
的线性组合
,再把
单位化,记
\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}
,则
\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}
是规范正交向量组。其中
,
\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}
,
\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}
,
............
\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}
9.正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基。
线性方程组 1.克莱姆法则
线性方程组
\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}
,如果系数行列式
D = \left| A \right| \neq 0
,则方程组有唯一解,
x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}
,其中
是把
中第
列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。
2.
阶矩阵
可逆
只有零解。
\Leftrightarrow\forall b,Ax = b
总有唯一解,一般地,
r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0
只有零解。
3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构
(1) 设
为
矩阵,若
,则对
而言必有
,从而
有解。
(2) 设
为
的解,则
k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}
当
k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1
时仍为
的解;但当
k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0
时,则为
的解。特别
为
的解;
为
的解。
(3) 非齐次线性方程组
无解
\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b
不能由
的列向量
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}
线性表示。
4.奇次线性方程组的基础解系和通解,解空间,非奇次线性方程组的通解
(1) 齐次方程组
恒有解(必有零解)。当有非零解时,由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量,因此
的全体解向量构成一个向量空间,称为该方程组的解空间,解空间的维数是
,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。
(2)
\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}
是
的基础解系,即:
\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}
是
的解;
\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}
线性无关;
的任一解都可以由
\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}
线性表出.
k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}
是
的通解,其中
是任意常数。
矩阵的特征值和特征向量 1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质
(1) 设
是
的一个特征值,则
{kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}
有一个特征值分别为
{kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},
且对应特征向量相同(
例外)。
(2)若
\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}
为
的
个特征值,则
\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|
,从而
|A| \neq 0 \Leftrightarrow A
没有特征值。
(3)设
\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}
为
的
个特征值,对应特征向量为
\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}
,
若:
\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}
,
则:
A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}
。
2.相似变换、相似矩阵的概念及性质
(1) 若
,则
A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}
|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)
|\lambda E - A| = |\lambda E - B|
,对
成立
3.矩阵可相似对角化的充分必要条件
(1)设
为
阶方阵,则
可对角化
对每个
重根特征值
,有
n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}
(2) 设
可对角化,则由
有
,从而
A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}
(3) 重要结论
若 ,则
\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}
.
若 ,则
f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|
,其中
为关于
阶方阵
的多项式。
若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重根重复计算)=秩(
)
4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
(1)相似矩阵:设
为两个
阶方阵,如果存在一个可逆矩阵
,使得
成立,则称矩阵
与
相似,记为
。
(2)相似矩阵的性质:如果
则有:
(若
,
均可逆)
(
为正整数)
\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|
,从而
有相同的特征值
\left| A \right| = \left| B \right|
,从而
同时可逆或者不可逆
秩 秩
\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|
,
不一定相似
二次型 1.
个变量
\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}
的二次齐次函数
f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}
,其中
a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)
,称为
元二次型,简称二次型. 若令
x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}
,这二次型
可改写成矩阵向量形式
。其中
称为二次型矩阵,因为
a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)
,所以二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵
的秩称为二次型的秩。
2.惯性定理,二次型的标准形和规范形
(1) 惯性定理
对于任一二次型,不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型,其正负惯性指数与所选变换无关,这就是所谓的惯性定理。
(2) 标准形
二次型
f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}
经过合同变换
化为
f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}
y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}
称为
的标准形。在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由
唯一确定。
(3) 规范形
任一实二次型
都可经过合同变换化为规范形
f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}
,其中
为
的秩,
为正惯性指数,
为负惯性指数,且规范型唯一。
3.用正交变换和配方法化二次型为标准形,二次型及其矩阵的正定性
设
正定
\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}
正定;
,
可逆;
,且
,
正定
正定,但
,
不一定正定
正定
\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0
的各阶顺序主子式全大于零
的所有特征值大于零
的正惯性指数为
存在可逆阵
使
存在正交矩阵
,使
Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},
其中
\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.
正定
\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}
正定;
可逆;
,且
。
概率论和数理统计 随机事件和概率 1.事件的关系与运算
(1) 子事件:
,若
发生,则
发生。
(2) 相等事件:
,即
,且
。
(3) 和事件:
(或
),
与
中至少有一个发生。
(4) 差事件:
,
发生但
不发生。
(5) 积事件:
(或
),
与
同时发生。
(6) 互斥事件(互不相容):
=
。
(7) 互逆事件(对立事件):
A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}
2.运算律
(1) 交换律:
A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A
(2) 结合律:
(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)
(3) 分配律:
(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)
3.德
摩根律
\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}
\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}
4.完全事件组
{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}
两两互斥,且和事件为必然事件,即
{{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega
5.概率的基本公式
(1)条件概率:
P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}
,表示
发生的条件下,
发生的概率。
(2)全概率公式:
P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega
(3) Bayes公式:
P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n
注:上述公式中事件
的个数可为可列个。
(4)乘法公式:
P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})
P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})
6.事件的独立性
(1)
与
相互独立
\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)
(2)
,
,
两两独立
\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)
;
;
;
(3)
,
,
相互独立
\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)
;
;
;
7.独立重复试验
将某试验独立重复
次,若每次实验中事件A发生的概率为
,则
次试验中
发生
次的概率为:
P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}
8.重要公式与结论
(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),
P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)
(5)条件概率
满足概率的所有性质,
例如:.
P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)
P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)
P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)
(6)若
{{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}
相互独立,则
P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})},
P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系:
与
互逆
与
互斥,但反之不成立,
与
互斥(或互逆)且均非零概率事件
与
不独立.
(8)若
{{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}
相互独立,则
f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})
与
g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})
也相互独立,其中
f(\centerdot ),g(\centerdot )
分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件,另外,概率为1(或0)的事件与任何事件相互独立.
随机变量及其概率分布 1.随机变量及概率分布
取值带有随机性的变量,严格地说是定义在样本空间上,取值于实数的函数称为随机变量,概率分布通常指分布函数或分布律
2.分布函数的概念与性质
定义:
F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty
性质:(1)
(2)
单调不减
(3) 右连续
(4)
F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1
3.离散型随机变量的概率分布
P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1
4.连续型随机变量的概率密度
概率密度
;非负可积,且:
(1)
(2)
\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}
(3)
为
的连续点,则:
分布函数
F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}
5.常见分布
(1) 0-1分布:
P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1
(2) 二项分布:
:
P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n
(3) Poisson 分布:
:
P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots
(4) 均匀分布
:
f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}
(5) 正态分布:
\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty
(6)指数分布:
E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}
(7)几何分布:
G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.
(8)超几何分布:
H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)
6.随机变量函数的概率分布
(1)离散型:
P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)
则:
P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}
(2)连续型:
X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)
则:
F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}
,
7.重要公式与结论
(1)
X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},
\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)
(2)
X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})
(3)
X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)
(4)
X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)
(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数;连续型随机变量的分布函数为连续函数,但不一定为处处可导函数。
(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。
多维随机变量及其分布 1.二维随机变量及其联合分布
由两个随机变量构成的随机向量
, 联合分布为
F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)
2.二维离散型随机变量的分布
(1) 联合概率分布律
P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots
(2) 边缘分布律
p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots
p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots
(3) 条件分布律
P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}
P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}
3. 二维连续性随机变量的密度
(1) 联合概率密度
\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1
(2) 分布函数:
F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}
(3) 边缘概率密度:
f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}
f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}
(4) 条件概率密度:
f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}
f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}
4.常见二维随机变量的联合分布
(1) 二维均匀分布:
,
f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}
(2) 二维正态分布:
(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)
,
(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)
f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}
5.随机变量的独立性和相关性
和
的相互独立:
\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)
:
\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}
(离散型)
\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)
(连续型)
和
的相关性:
相关系数
时,称
和
不相关,
否则称
和
相关
6.两个随机变量简单函数的概率分布
离散型:
P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)
则:
P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}
连续型:
\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)
则:
F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}
,
7.重要公式与结论
(1) 边缘密度公式:
f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}
f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}
(2)
P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}
(3) 若
服从二维正态分布
N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)
则有:
X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).
与
相互独立
,即
与
不相关。
C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)
关于
的条件分布为:
N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))
关于
的条件分布为:
N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))
(4) 若
与
独立,且分别服从
N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),
则:
\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),
C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).
(5) 若
与
相互独立,
和
为连续函数, 则
和
也相互独立。
随机变量的数字特征 1.数学期望
离散型:
P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}
;
连续型:
X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}
性质:
(1)
E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)
(2)
E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)
(3) 若
和
独立,则
(4)
\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})
2.方差 :
D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}
3.标准差 :
,
4.离散型:
D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}
5.连续型:
D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx
性质:
(1)
\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0
(2)
与
相互独立,则
(3)
\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)
(4) 一般有
D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}
(5)
\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)
(6)
\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1
6.随机变量函数的数学期望
(1) 对于函数
为离散型:
P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}
;
为连续型:
X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}
(2)
;
\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}}
;
E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}}
\left( X,Y \right)\sim f(x,y)
;
E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}
7.协方差
Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack
8.相关系数
\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}
,
阶原点矩
;
阶中心矩
E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}
性质:
(1)
(2)
\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)
(3)
\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)
(4)
\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1
(5)
\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1
,其中
\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1
,其中
9.重要公式与结论
(1)
\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)
(2)
\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
(3)
\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,
且
\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1
,其中
\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1
,其中
(4) 下面5个条件互为充要条件:
\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0
\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)
\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)
\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)
注:
与
独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件,但非必要条件。
数理统计的基本概念 1.基本概念
总体:研究对象的全体,它是一个随机变量,用
表示。
个体:组成总体的每个基本元素。
简单随机样本:来自总体
的
个相互独立且与总体同分布的随机变量
,称为容量为
的简单随机样本,简称样本。
统计量:设
是来自总体
的一个样本,
g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})
)是样本的连续函数,且
中不含任何未知参数,则称
g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})
为统计量。
样本均值:
\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}
样本方差:
S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}
样本矩:样本
阶原点矩:
A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots
样本
阶中心矩:
B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots
2.分布
分布:
\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)
,其中
相互独立,且同服从
分布:
T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)
,其中
X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),
且
,
相互独立。
分布:
F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})
,其中
X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),
且
,
相互独立。
分位数:若
P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,
则称
为
的
分位数
3.正态总体的常用样本分布
(1) 设
为来自正态总体
的样本,
\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}
则:
\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }
或者
\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)
\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}
\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}
4)
{\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)
4.重要公式与结论
(1) 对于
,有
E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;
(2) 对于
,有
E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)
;
(3) 对于
,有
\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};
(4) 对于任意总体
,有
E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}
原文:http://www.ai-start.com/dl2017/html/math.html