仿射变换及其变换矩阵的理解

目录

• 写在前面
• 仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射
• 变换矩阵形式
• 变换矩阵的理解与记忆
• 变换矩阵的参数估计
• 参考

写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示：

Basic set of 2D planar transformations

这篇文章不包含透视变换（projective/perspective transformation），而将重点放在仿射变换（affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：

affine transformations

平移（translation）和旋转（rotation）顾名思义，两者的组合称之为欧式变换（Euclidean transformation）或刚体变换（rigid transformation）；

放缩（scaling）可进一步分为uniform scaling和non-uniform scaling，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；

刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换（similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；

剪切变换（shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示：

transformations venn diagram

通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

VuEg5n.png

变换矩阵的理解与记忆

rotate matrix

Hierarchy of 2D coordinate transformations

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？

一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。