1、算法:算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。
那么一个怎样的算法才能称得上是好算法,也就是说有没有什么标准来评判一个算法的好坏?
在此之前,咱们先来做个试验:
用两种方式来实现求裴波那契数列第n项的值,一种方式用递归方式,第二种方式用普通循环方式。
在得到结果之前,你猜猜那种方式计算结果更快一些,还是一样快?
测试代码如下(JavaScript):
/**
* 1、递归实现斐波那契数列:
* 1,1,2,3,5... 第n项 = 第n-1项 + 第n-2项
* */
function recursionFbi(n){
if (n < 3) return 1;
if (n == 3) return 2;
// console.log("递归n: ", n);
return recursionFbi(n-1) + recursionFbi(n-2);
}
/**
* 2、循环实现裴波那契数列
* 1,1,2,3,5... 第n项 = 第n-1项 + 第n-2项
* */
function circleFbi(n){
if (n < 3) return 1;
var a = 1, b = 1, c = 0;
for (var i = 0; i < n; i++){
if (i > 1){
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
console.log("循环i: ", i, ", c: ", c);
}
return c;
}
这里输入几个数字做测试,大致记录下结果作对比。
当然每次测试同一个数字的计算时间不一定都相同,跟当前测试的电脑硬件配置,和其他应用同开有一定关系。
当输入n=51的时候,测试结果截图如下:
还有输入其他一些n值的统计数据:
上面通过两种方式求裴波那契数列,表现出来的时间损耗值相差惊人!为什么会有这么大的差别?这体现了一个好的算法能让程序的运行效率事半功倍,一个糟糕的算法对于程序来说简直就是灾难!刚才这两种算法方式的区别,等下再分析。
2、现在,我们来说说如何来粗略的估算一个算法的好坏。
我们对于算法的设计要求是:正确性、可读性、健壮性、时间效率高、存储量低。
因此对于一个算法,我们在运行前,可以从这五个角度来进行判断分析,下面主要从时间效率和存储量角度来细说下:
大O表示法是一种粗略的分析模型,能帮助我们快速估算一个算法的执行效率,我们用它来描述算法的时间复杂度。
常见的时间复杂度有这些:
在使用大O推导法时,对于常数阶,我们用常数1代替;有多阶项则只保留最高阶项;最高阶项的常数去除。如图:
这里贴上几个示例用来练习时间复杂度的计算(JavaScript):
//算法复杂度:O(n)
function testCount1(n){
//指令计数:多个if算作一个指令
if (n > 10){
console.log("n > 10")
}
else if(n > 5){
console.log("n > 5")
}
else{
console.log("n <= 5")
}
//指令计数:1 + n + n + n = 3n + 1
for (var i = 0; i < n; i++){
console.log("...testCount1...")
}
}
//算法复杂度:O(logn)
function testCount3(n){
//指令计数:n/2 = log2(n)
//n=2 -> 1; n=4->2; n = 8->3; n = 16->4; n = 32->6
//1=log2(2); 2=log2(4); 3=log2(8); 4=log2(16); 6=log2(32)
while((n = n / 2) > 0){
console.log("***testCount3***");
}
}
//算法复杂度:O(nlogn)
function testCount4(n){
//指令计数:1 + 2*log2(n) + log2(n) * (1+3n) = 1 + 3log2(n) + 3n*log2(n)
for (var i = 1; i < n; i = i * 2){
//1 + 3n
for (var j = 0; j < n; j++){
console.log(">>>testCount4>>>")
}
}
}
//算法复杂度:O(n^2)
function testCount2(n){
//指令计数:1 + 2n + n * (1+3n) = 1 + 3n + 3n^2 = 3n^2 + 3n + 1
for (var i = 0; i < n; i++){
for (var j = 0; j < n; j++){
console.log("...testCount2...")
}
}
}
常见的时间复杂度所耗时间的大小排列如下:
3、掌握了大O推导法,我们用大O表示法来论证本文最开始计算裴波那契数列的两种算法的区别:
3.1 递归方式算法,先看下图:
可以得出,这里的递归方式算法用大O表示法来表示,它属于指数阶,可以粗略表示为:O(n) = 2^n
3.2 而第二种循环方式算法为线性阶的,用大O表示法为:O(n) = n
3.3 我们对比一下指数阶和线性阶的函数曲线图就知道,n系数越大,这两种方式的最后的结果相差越大。
所以当n越大时,递归方式算法的计算次数呈指数级上升,最后次数结果越大,时间损耗数也就越多。