解析北大招生数学考题。

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引言

数学的两大研究对象：数量和图形。两者结合，方能释放出数学终极奥义。

回顾数学的发展史，每次数形结合都能够诞生出新的数学思想，将整个数学向前推进一大步：

笛卡尔将三维空间与代数结合，诞生了解析几何；

牛顿将非规则图形与级数结合，诞生了微积分；

怀尔斯将椭圆曲线与数论结合，解决了费马大定理……

今天，我们就来体验一下数形结合的魅力。

先看一道号称是北大招生题：

网上答案基本上都是纯粹用代数方法求解的：通过代数变换，用a和b来表示c，再整理成以a的表达式为系数、关于b的一元二次方程，最后用一元二次方程的判别式定理（韦达定理）就可以得到关于a的不等式，从而求出a的最小值。

但是该方法要做大量的代数运算，而且求解过程不够直观。有没有更好的方法呢？

笔者另辟蹊径，用“数形结合”来秒杀这道题。

代数的几何表示

数形结合的关键就是找到代数表达式的几何意义。

a,b,c的平方和等于1，根据球的代数方程可知，如果把a,b,c分别看作三维坐标系中的分量，那么a,b,c表示的点P，正好落在以坐标原点O为球心、半径为1的球上。

如果忽略abc的符号，那么abc表示的就是以P到各坐标轴的垂线段构成的长方体的体积。

那么(1-b)、(1-c)表示的是什么呢？从下图可以看出：

bc=左下角阴影长方形的面积S1，

(1-b)=右上角阴影长方形的长，

(1-c)=是右上角阴影长方形的宽，

所以(1-b)(1-c) = S2

所以，abc=(a-1)(b-1)(c-1)表示的几何意义就是：

保持长方体的体积不变，长方体的横截面积从S1变成S2时，高从|a|变成|1-a|

从而|1-a|/|a| = S1/S2

既然a要尽可能小，那么a取负值更好，此时：

|a|=-a，|1-a| = 1-a，

|1-a|/|a| = 1-a/(-a) = -1/a +1

显然，a越小，上式的值越小，从而S1/S2越小

求极值的传统套路

第一步：将目标式整理成多元函数，然后对多元函数求偏导数，令偏导数为0得到联立方程组，从而得到驻点的坐标

第二步：根据判别式，判断驻点是否是极值，如果是极值是极大值还是极小值

第三步：检查边界点，比较之后得到最终的最大值或者最小值

因为点在球面上，所以可以用传统的球面角关系得到S1/S2关于ɑ和Θ的二元函数。

具体过程如下：

由上图可知：若设O'P = r，则：

S1 = (r^2)sinɑcosɑ

S2 = (1-rsinɑ)(1-rcosɑ)

所以S1/S2 = (r^2)sinɑcosɑ / (1-rsinɑ)(1-rcosɑ) （式1）

由上图可知：

OP就是球的半径，所以OP = 1

r = O'O = OPsinΘ = sinΘ （式2）

将式2代入式1得到：

S1/S2 = (sinΘ^2)sinɑcosɑ / (1-sinΘsinɑ)(1-sinΘcosɑ) （式3）

很显然，对上式求偏导数，计算量不小，那么有没有更简单、更直观的方法呢？

告别思维定式、将数形结合进行到底

从下图可以看出：

1. S1/S2随着P点沿圆周运动而变化

2. 当P移动到与对角线镜像对称的Q点时，对应阴影长方形与P点的阴影长方形是对称的。

这意味着：Q点的S1/S2 = P点的S1/S2

很自然地，我们会想到：

对角线与圆周的交点P'的S1/S2与它旁边的点P的S1/S2的大小关系是怎样的呢？

如果P'的S1/S2比它旁边任意点的S1/S2都要小，那么P'就是所求的最小值点。

P'点有一个很好的性质：P'点对应的两个阴影长方形都是正方形。

为方便后面的描述，假设：

P'点对应的左下角正方形的边长为L1，右上角的正方形边长为L2

则L1+L2=1

当P'移动到P时：

1. S1上半部缩减面积S1-、下半部向右延伸S1+，净增加量delta1=(S1+)-(S1-)

2. S2上半部缩减面积S2-、下半部向下延伸S2+，净增加量delta2=(S2+)-(S2-)

我们来简单计算一下S1+、S1-、S2+、S2-：

假设P'与P横向坐标距离为d，纵向坐标距离为h，那么：

S1- = hL1-hd

S1+ = dL1-hd

S2+ = hL2-hd

S2- = dL2-hd

所以：

delta1 = (dL1-hd)-(hL1-hd) = (d-h)L1 （式4）

delta2 = (hL2-hd)-(dL2-hd) = (h-d)L2 （式5）

由上图可知：

P'的切线的斜率 = 1，横向坐标与纵向坐标相等

P'的切线的斜率 < P的切线的斜率

可以推出：P的横向坐标 < P的纵向坐标

而

d = |P'的横向坐标 - P的横向坐标|

h = |P'的纵向坐标 - P的纵向坐标|

从而：d>h

代入式4和式5，得到：

delta1 = (d-h)L1 > 0

delta2 = (h-d)L2 < 0

P点的S1=P'点的S1 + delta1 > P'点的S1

P点的S2=P'点的S2 + delta2 < P'点的S2

相当于P'的S1/S2的分子增大、分母减小，那么整体值就增大

这意味着：P点的S1/S2 > P'的S1/S2

由P点的任意性可得：

P'的S1/S2比它旁边任意点的S1/S2都要小，P'就是所求的最小值点。

其实，还可以进一步证明P'向两边滑动时，S1/S2是单调增加的，这个就留给有兴趣的同学了：）

收官

END

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