分享一道解法巧妙的算法题

最近碰到很多通过巧妙着运用位运算来巧妙解决复杂问题的算法，今天分享的这道题，或许能够开拓你的一些算法思维。

题目描述

有一组存放 ID 的数据。并且 ID 取值为 0 - (N-1) 之间，其中只有一个 ID 出现的次数为 1，其他的 ID 出现的次数都等于 2，问如何找到这个次数为 1 的 ID ?

解法一：巧用数组下标

我的第一想法便是采用下标法来解决，把 ID 作为数组 arr 的下标，在遍历 ID 的过程中，用数组记下每个 ID 出现的次数，即每次遍历到 ID = n，则 arr[n]++。

之后我们在遍历数组 arr，找到 arr[n] = 1 的ID，该下标 n 便是我们要寻找的目的 ID。

这种方法的时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(N)。

解法二：巧用哈希表

显然时间复杂度是无法再降低的了，因为我们必须要遍历所有的 ID，所以时间复杂度最少都得为 O(N)了，所以我们要想办法降低空间复杂度。

大家想一个问题，假如我们检测到某个 ID 已经出现了 2 次了，那么这个 ID 的数据我们还需要存储记录吗？大部分的 ID 都出现了 2 次，这一大部分的数据真的需要存储吗？

答是不用的，因为出现 2 次的 ID 不是我们所要找的。所以我们可以优化解法一，我们可以采用哈希表来记录 ID 出现的次数：利用哈希表记下每个 ID 出现的次数，每次遇见一个 ID，就把这个 ID 放进 哈希表，如果这个 ID 出现了次数已经为 2 了，我们就把这个 ID 从哈希表中移除，最后哈希表只会剩下一个我们要寻找的 ID。

这个方法最好的情况下空间复杂度可以降低到 O(1)，最坏的情况仍然了 O(N)。

解法三：巧用位运算

那究竟有没办法让空间复杂度在最坏的情况下也是 O(1) 呢？

答是有的，按就是采用异或运算。异或运算有个特点：

异或运算特点：相同的两个数异或之后，结果为 0，任何数与0异或运算，其结果不变并且，异或运算支持结合律。

所以，我们可以把所有的 ID 进行异或运算，由于那些出现两次的 ID 通过异或运算之后，结果都为 0，而出现一次的 ID 与 0 异或之后不变，又因为异或支持结合律，所以，把所有 ID 进行异或之后，最后的结果便是我们要找的 ID。

这个方法的空间复杂度为 O(1)，巧妙利用了位运算，而且运算的效率是非常高效的。

问题拓展

假如有 2 个 ID 出现的次数为 1，其他 ID 出现的次数都为 2 呢？有该如何解决呢？是否还是可以用位运算呢？

为了方便这里我们先假设 异或 的符号为 @，

答是必须的，假如这两个出现一次的 ID 分别为 A, B，则所有 ID 异或后的结果为 A@B，这时我们遇到的问题是无法确定 A，B的值。

由于 A 和 B 是不一样的值，所以 A@B 的结果不为 0，也就是说，这个异或值的二进制中某一位为1。显然，A 和 B 中有且仅有一个数的相同位上也为 1。

这个时候，我们可以把所有 ID 分为两类，一类在这个位上为 1，另一类为 0，那么对于这两类，一类会含有 A，另一类会含有 B。于是，我们可以分别计算这两类 ID 的异或值，几可得到 A 和 B 的值。

总结

大家做刷题的时候，不妨多加上一个想法：是否可以用的上位运算这种思路。有收获？不妨来个好看让更多人看到这篇文章！