NOIP训练营集训笔记—信息学基础算法（倍增与分治算法）

本文摘自清北OI学堂内部笔记，作者潘恺璠，来自柳铁一中曾参加过清北训练营提高组精英班，主要记录的是信息学基础算法。笔记非常详细，特分享给大家！ NOIP2019年夏令营正在报名中，6大校区10种班型，可前往微信noipnoi报名！

一、倍增算法：

定义：用f[i][j]表示从i位置出发的2j个位置的信息综合（状态）

一个小小的问题：为什么是2j而不是3j,5j,…？因为，假设为kj，整个算法的时间复杂度为(k-1)logk，当k=2时，时间复杂度最小。

这个算法的三个应用：

1.倍增ST表：

应用：这个ST表是用来解决RMQ问题（给你n个数，m次询问，每次询问[l,r]这个区间的最大值），当然，解决RMQ问题是可以用线段树来做的，但是比较麻烦，NOIP 80%是不会用线段树来做，还是用ST表方便。

定义：f[i][j]表示：从i到i+2j-1这2j个位置的元素最大值

初始化：f[i][0]=z[i]（第i个位置到第i+20-1个位置的最大值，对应只有一个元素的区间）

转移：f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2(j-1)][j-1]) （把[i,i+2j-1]这个区间分治为两个区间，这两个区间拼在一起就成了原来一个大的区间，两个区间长度都为2j-1）

//建立ST表，引自P2O5 dalao的blog：https://zybuluo.com/P2Oileen/note/816892#应用1-st表

for(int a=1;a<=n;a++) f[a][0]=z[a];//z[]为源数据区间数组

for(int j=1;j<=logn;j++)

{

for(int i=1;i+z^j-1<=n;i++)

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1]);

//乘方是伪代码！

}

//solve

ans=max(f[l][k],f[r-2^k+1][k]);

所以就有两种情况：

①假如区间长度(r-l+1)正好是2k，那么就直接访问f[l][k]；

②假如区间长度(r-l+1)是2k+p(p<2k)，也就说明2k≤(r-l+1)<2k+1，我们可以慢慢地分治下去，利用前缀和，就形成了树状数组那样的东西，一段区间的最大值为 划分成两段区间最大值max1,max2相比取较大 ，但是这样太慢。

有一种更好的方法：其实我们可以用两个长度为2k的区间就一定能把这段[l,r]区间完美覆盖起来，会有重复，但是对求最大值这件事情没有影响，所以 这段区间的最大值=max(f[l][k],f[r-2k+1][k])。

限制：不能用来计算区间和，因为中间有重复部分，还有就是：不支持修改ST表！

2.树上倍增LCA（最近公共祖先）：

一般是用线性Tarjan算法来求解（这个Tarjan算法和图论中求有向图强连通分量的Tarjan不同，都是一个人发明的），但是在ZHX十年的信息学奥赛生涯中没有用到这个算法，原因有俩：①没遇到这样的题目②不会！（笑哭脸），有兴趣可以了解一下。

下面介绍倍增的算法：

定义：f[i][j]表示：从树上编号为i的节点向上走2j步会走到哪个节点。

初始化：从j=0开始考虑，也就是从i号节点向上走1步到达的节点，就是i节点的父亲，所以：f[i][0]=father[i]。

转移：f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]，表示：从i节点往上走2j-1步后，再往上走2j-1步到达的点，等价于向上走2j步，因为2j-1+2j-1=2j。（j的范围大概[20,30)≈nlogn，只要保证2j>节点数目n即可）

现在我们构造出来这个f数组，下面介绍如何求两个点的LCA：

定义数组depth[i]表示i这个节点的深度，有以下两种情况：

①depth[p1]==depth[p2]，具有一个重要的性质：两个节点同时向上走同样地步数，深度仍然相等，也就是说，我们让p1,p2一步一步地往上走，当走到同一个点时候，这个点一定是LCA！

for(int x=19;x>=0;x--)

{

if(f[p1][x]!=f[p2][x])//如果没有走到同一个点，继续往上走

{

p1=f[p1][x];//p1往上跳

p2=f[p2][x];//p2往上跳

}

}

if(p1!=p2)//为什么要加这个判断？有可能p1=p2么？是有可能的！这个判断是防止一开始跳之前p1=p2这种情况

{

p1=f[p1][0];//因为上面的循环p1，p2只是走到了LCA的下方，这个判断只是处理最后一步：把p1或p2往上跳到它的父亲，就是LCA，返回即可

}

return p1;//p1为LCA，返回

②depth[p1]!=depth[p2]，假如p1比较深，就让p1往上跳到和p2深度一样的地方。

利用倍增f数组p1往上跳的方法：定义往上走步数step=depth[p1]-depth[p2]，再利用二进制转换！

举个栗子：假如step=13，转为二进制=1101，可以得出13=8+4+1,：先走8步，再走4步，再走1步就好了。

int get_lca(int p1,int p2)

{

if(dpeth[p1]<depth[p2]) swap(p1,p2);

for(int x=19;x>=0;x--)

{

if((2^x)<=depth[p1]-depth[p2]) p1=f[p1][x];

}

}

下面是另一种写法思路就不多讲

int x=0;

while (p1!=p2)

{

if(!x||f[p1][x]!=f[p2][x])

{

p1=f[p1][x];

p2=f[p2][x];

x++;

}

else x--;

}

3.快速幂：

按照一般思路，我们要计算ax的话，要写一个for循环，计算a×a×a×a…这样太™麻烦并且浪费时间！

这里运用倍增来实现快速幂，这也是运用到了分治的思想。

我们要求出x(x=2×k)个a的乘积，就可以分解为x/2个a的乘积的平方，这样就省去一半计算量，如果x是奇数，就在原先的基础上×a就可以了。

int ksm(int a,int x)//求a^x的快速幂 时间复杂度：O(logx)

{

int ans=1;

while(x)

{

if(x&1) ans=(ans*a);//位运算：x&1==1则x为奇数

a=a*a;

x=x>>1;//位运算：右移一位，即将X除以2

}

return ans;

}

二、分治算法：

定义：将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。

这个算法的三个应用：

1.二分查找：

定义：给定排序数组，查询某个数是否在数组中

算法描述：在查找所要查找的元素时，首先与序列中间的元素进行比较，如果大于这个元素，就在当前序列的后半部分继续查找，如果小于这个元素，就在当前序列的前半部分继续查找，直到找到相同的元素，或者所查找的序列范围为空为止。

bool find(int x)//二分查找x是否在序列z[]中

{

left=0,right=n;

while(left+1!=right)

{

middle=(left+right)>>1;

if(z[middle]>=x) right=middle;

else left=middle;

}

}

还可以用lower_bound和upper_bound函数进行优化，用法详见下：

#include <iostream>

#include <algorithm>//必须包含的头文件，C++特有的库函数

using namespace std;

int main()

{

int point[5]={1,3,7,7,9};

int ans;

/*两个函数传入的：(数组名，数组名+数组长度，要查找的数字)，返回的是一个地址，减去数组名即可得到数字在数组中的下标*/

ans=upper_bound(point,point+5,7)-point;//按从小到大，7最多能插入数组point的哪个位置

printf("%d ",ans);//输出数字在数组中的下标

ans=lower_bound(point,point+5,7)-point;////按从小到大，7最少能插入数组point的哪个位置

printf("%d\n",ans);//输出数字在数组中的下标

return 0;

}

/*

output：

4 2

*/

2.归并排序（nlogn）：

是分治法的典型应用。

归并过程：

比较a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；

否则，将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1。

如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元

归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。

3.快速排序（nlogn）：

一般在使用时候直接调用快排函数。

sort（快速排序，是C#特有的，不会退化为n2，比下面三个都要快，一般使用这个）

qsort（最坏情况下为n2，最好是n，期望为nlogn）

merge_sort（归并排序，稳定为nlongn）

heap_sort（堆排序，稳定为nlongn）