Leetcode 877. 石子游戏

题目描述

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

示例 1:

输入：[5,3,4,5] 输出：true 解释： 亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。 假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。 如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。 如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。 这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。

动态规划+二维数组

判断的结果为先拿者是否可以拿到较多的石子。可以将问题转换为先拿者的石子数相对于后拿者的石子数的差值是否为正数，即表示先拿者的石子数是否多于后拿者的石子数。所以在依次拿石子的过程中，依次判断先拿者相对于后拿者的石子数即可。

不妨以

f(i,j)

表示对于下标

i

到下标

j

的

(j-i+1)

堆石子，当前选手相对于对手能够多出的石子数。若

i==j

，则明显当前选手相对于对手多出的石子数为

f(i,j)=piles[i]

，因为只有一堆石子。

若有两堆或多堆石子，则

f(i,j)=max(piles[i]-f(i+1,j), piles[j]-f(i,j-1))

，其中

f(i+1,j)

表示对手相对于当前选手多出的石子，当前选手选择

piles[i]

，所以当前选手相对于对手多出的石子为

piles[i]-f(i+1,j)

。同理对于

piles[j]-f(i,j-1))

。所以当前选手取两种情况中的最大值。

以

dp[i][j]

二维数组存储

f(i,j)

的值，递推过程如下图所示：

因为初始情况只知道

i==j

，即对角线上的

dp

值，所以推导

dp

数组按照红色序号顺序进行。

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        length=len(piles)
        dp=[[0]*length for i in range(length)]
        for i in range(length):
            dp[i][i]=piles[i]
        for j in range(1,length):
            for i in range(j-1,-1,-1):
                dp[i][j]=max(piles[i]-dp[i+1][j],piles[j]-dp[i][j-1])
        return dp[0][length-1]>0

动态规划+一维数组

观察上图可知，得到

dp[0][1]

的值之后，就不再需要

dp[0][0]

得值。同理得到

dp[1][2]

的值之后，就不再需要

dp[1][1]

的值。即每个

j

值对应的一位数组可以覆盖

j-1

对应的一位数组，所以只需要一位数组即可得到最终的结果。

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        dp=piles[:]
        for j in range(1,len(piles)):
            for i in range(j-1,-1,-1):
                dp[i]=max(piles[i]-dp[i+1],piles[j]-dp[i])
        return dp[0]>0

数学规律

先拿者可以拿到序号为 1,3,5...n-1 的石子堆，也可以拿到序号为 2,4,6...n 的石子堆。因为总石子数为奇数，所以这两种方式中，其中一种拿到的石子数大于另一种。所以不按照拿尽量多的石子数，按照这种纯奇数序号或者纯偶数序号的方式拿，先拿者总可以赢。

class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        return True