我如何用TeX“复活”两千多年前的《几何原本》？

大数据文摘出品 作者：栾红叶、李可、钱天培

2300多年前，被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，结合了前人思想，加上自己在几何方面的研究，最终创造出不朽之作《几何原本》。

这本佳作前后总共包含了400多年的数学发展历史，它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。

而随着现代工具的发展，一位来自俄国的数学爱好者通过TeX重新编排了《几何原本》，在这份被”复活“的作品中，你不仅能看到彩色图片，甚至可以看到有趣的动画，让这本古老的教科书瞬间灵动了起来。

一起来看看这位俄国小哥创作的心路历程。

选择合适的工具

2016年，我偶然看到了Oliver Byrne的“《几何原本》的前六卷”。这本书的主要特点是，它不是普通的字母名称，如“三角形ABC”，它直接在文本中使用了微缩图片来表述。即三角形的图像。 尽管这在十九世纪可能很困难，但现在，制作这样一本书，只要使用合适的工具也很容易实现。 所以，我决定自己来验证我的结论。

《几何原本》前六卷：

https://archive.org/details/firstsixbooksofe00byrn/page/n23

在Illustrator中绘制所有插图并在InDesign中编写整个内容 ，这种最简单的操作被我迅速抛弃。在Illustrator中，几何结构并不容易做到，并且更没有简便的方法将主图像自动连接到微缩模型。

至于InDesign，虽然它非常擅长处理这种视觉上的复杂布局，但它过度拥挤的“链接”面板就把我吓跑了。因此，我不假思索地选择了我熟悉的工具MetaPost，这个工具使几何处理变得相对容易，还有LaTeX，一个可以完成这项工作系统。由于在LaTeX中使用MetaPost libs会有一些问题，所以我用ConTeXt取代LaTeX，ConTeXt可与MetaPost享有和谐的兼容关系

它是怎样运作的

《几何原本》有13个部分，其中Byrne只有前六本。 每本书都主要是由“命题” 组成，包含定理和问题。 每个命题都会有一个图表（通常是一个）和一些引用图表的文本。

对于几何构造，我创建了一个ConTeXt宏来创建一个新的MetaPost实体。 在MetaPost中，有许多函数可以创建这些几何体。 它们的使用看起来有点像这样：

\defineNewPicture{ % Inside this thing you put the construction
   pair A, B, C, D; % MetaPost has a special type of variables for coordinates
   numeric d;
   d := 2u;
   A := (0, 0);                %
   B := A shifted (d, 0);      % Point coordinates are set here
   C := A shifted (0, -d);     %
   D := A shifted (d, -d);     %
   byAngleDefine(B, A, C, byblack, 0);     % These define angles:
   byAngleDefine(D, B, A, byblue, 0);      % first—angle points,
   byAngleDefine(C, D, B, byred, 0);       % then color,
   byAngleDefine(A, C, D, byyellow, 0);    % then style.
   draw byNamedAngleResized();     % This thing draws all the angles.
   byLineDefine(A, B, byred, 0, 0);        % These define line segments:
   byLineDefine(B, D, byyellow, 0, 0);     % first—ends,
   byLineDefine(D, C, byblack, 0, 0);      % then color and style,
   byLineDefine(C, A, byblue, 0, 0);       % then thickness.
   draw byNamedLineSeq(0)(AB,BD,DC,CA);    % This thing draws a sequence of lines.
}

\drawCurrentPicture % And this thing draws the whole picture.

对于命题文本，我在同一个MetaPost实体中创建了一系列绘制图片的宏。 通常，执行任意MetaPost代码即可，但在大多数情况下，他们会将对象名称作为参数。 像这样：

% Names are automatically assigned to line segments but can be assigned manually.
Draw $\drawUnitLine{CA} \perp \mbox{ and } = \drawUnitLine{DC}$.\\
Draw $\drawUnitLine{AB} \parallel \drawUnitLine{DC}$,\\
and meeting \drawUnitLine{BD} drawn $\parallel \drawUnitLine{CA}$.

这就是以上所提到的部分协同工作的方式：

一些有意思的特征

书中的图片并没有很复杂，但有些部分需要特别注意。

如果线段的末端连接在一起，其连接点要怎么显示比较好呢。 目前仅支持两条线段的连接，其他线段可以简单地用下面这样的连接方式表示。 虽然原书至少采用了两种连接点，但在我看来，只要有一种就足够了。

三角形中的角会用圆形扇区显示。 如果角的度数太小，具有相同半径的扇区可能看起来很小，所以就需要把它放大。 目前，对于60度以上的角度，半径保持不变，对于较小的度数，使用该公式：r / a / 60。

为了看起来更舒服，虚线的开头和结尾部分都会用完整的破折号表示。 为了达到这个目的，虚线图案需要缩放一点以适应线条长度，lllustrator具有类似的功能，但其虚线以半破折号开始结束而不是完整破折号。

描绘文本中线段有很多种方法：您可以使它们具有相同的长度，仅保留其颜色，或者你也可以用某种方式显示它们的长度。 Byrne这两种方式都用了，而我使用了以下这个公式：L'= Lal1-a，其中L'是文本中的线段的长度，L是原始的线段长度，l是所需的线段长度，a是介于0和1之间的某个数字。如果a = 0，则L'= 1，即任何线段的长度都是l；如果a = 1，则L'= L；如果0 <a <1，则L <l，L'> L且L> l，L'<L，即，较短的线段变长了，较长的线段变短了。 如果要保留线段的相对长度，同时还要避免2 cm的线段和2 mm线段挨在一起，则可能需要此项。 说实话，一切都有点复杂，但总体思路是一样的。

Byrne的书中不使用字母，但Edward Tufte在他的一本书中肯定了Byrne的作品，并提出使用小标签会有所帮助。 而且由于许多事情都是自动化的，因此添加小写字母并不算一个大工程。 默认情况下，几何顶点的名称是包含其坐标的变量名称。 标签可以放置在多边形的顶点上，在线段的末端和顶点c上。 当然，标签可以选择隐藏和显示，不幸的是，这将会影响布局。

然而，大多数代码通常会用于读者看不到的一些东西上，而作者/编辑则更多关注这些内容。 这些包括正确识别线段和角度的同义词，多边形组周围的自动字母放置以及其他类似的东西。

原版中还有缩写和小插曲。 一方面，创建它们非常容易。至少，它不需要花费很多心思去做，但我想做一个更有趣的尝试 – 自动生成首字母和带有不规则排列的文本。 不仅是因为这个工作有趣，还有就是俄语翻译需要将原始首字母的风格调整为西里尔字母，而我却喜欢这样做。 因此，简而言之，就是当你编译这本书时，首字母列表会被写入，而单独的MetaPost脚本可以非常缓慢地处理它来生成首字母和文本。

这个想法非常简单：将卷曲纹饰放在字母的一部分和框架上，尽可能大。这分为几步完成。所有曲线都包含在后续迭代中。之后，一些“叶子”以相同的方式生长。曲线的形状和特点是可调节的。

结果不能说很满意，但我正在慢慢改进算法，希望达到最好的效果。无论如何，你可以用你选择的图片替换生成的首字母。另外，该脚本还可以生成随机图块。

翻译成俄语来找茬

为了找到更多的错别字和其他错误，我决定将这本书翻译成俄语。起初，我使用著名的Murduhai-Boltovskoi的翻译作为参考，但很快我发现Byrne在翻译中为了实用，大幅修改了欧几里德的定理。老实说，翻译方面我并没有花太多功夫，尤其是简介部分，直到最近我才有时间来润色它。

撇开令人很不愉快的第五本书（碰巧在其他五本书的前几年单独设计），其他的不是非常困难。翻译过程确实有助于发现我和Byrne的错误。例如，第六本书中命题9的图表与文本不匹配，使得证明不正确，所以我只好修改它。

我在翻译过程中偶然发现了一件有趣的事情：在引言中，作者吹嘘他的方法的好处，他引用了Horace关于视觉优于其他感官的话。 几页之后，他引用了一句含义相近的“现代诗人”的诗句，我认为是为了更具说服力。这句诗原来是Horace同一首诗的另一个译本。 幸运的是，在俄语翻译中，我的妻子找到了一位英国作家的合适诗句。当然，在英文版中，这一处我并没有修改。

俄语翻译的另一个特点是，缩写指称在默认情况下是打开的。然而，有人要求制作带有缩写指称的英文版本，我正在考虑将它作为默认选项，因为毕竟“无指称”版本已经存在了（实际上不止一个）。

来自波兰的一个人开始对该书进行波兰语翻译，并在做出了许多非常有价值的贡献（例如，角度缩放是他的想法）。我希望他的翻译能顺利进行。这篇文章的英文版本他也有很大帮助。

图片更易于阅读

我已经研究这本书一段时间了，我有一些收获。内联图片确实易于阅读。现在我也在其他情况下使用这种技术。考虑到我只在下班后的晚上和周末做这个项目，其实并没有花费太多时间：第一个英文版约六个月，俄文翻译约三个月，包括所有规划和代码编写的全过程。虽然后来我发现了错误并修复了错别字。

从我发布第一个版本的那天起，kickstarter 上一个旨在“完善Byrne的工作”的运动即以Byrne的风格制作所有13本Euclid的书籍已经开始并完成了。他们似乎使用了InDesign进行排版。我不知道他们用什么画的图。希望这本书能和他们的其他作品一样好。最近，一位美国设计师制作了一个非常简洁的在线版本。他用了Illustrator绘制图表。

Byrne的书中没有任何三维几何体，只在简介中有平行六面体的图像。我也没有为它制作任何工具，但在某些地方，我想添加一些，所以我开始“Byrne化”11-13号书，用它实践一下新工具。目前，第11本书只有一半多一点粗略制作了，一些函数可以制作三维几何体并将它们投影到平面上。然而，三维机构比平面结构复杂得多，而且我还不确定Byrne的方法是否适合它们，不确定MetaPost是否是一个合适的工具。

文本中的图片需要调整一些字距。类似地，长图片出现在相邻两行会使行间距很宽，所以拉高图片只有在图片碰撞时才适用。我还不知道如何能否自动化地解决这些问题，但我绝对想试一试，因为手工修复真的很无聊。

MetaPost可以在LaTeX中使用，也可以作为独立程序使用。将来，我计划让LaTeX宏靠近ConTeXt宏，以便在更常见的环境中使用它们。 理论上，MetaPost也可以与InDesign一起使用。现在可以用MetaPost生成图片并将它们链接到InDesign文件中，但是这个过程需要一点InDesign脚本才能自动完成。这确实很奇怪，但我不止一次地想到这一点，所以我觉得值得考虑一下。

最后，我想将这些工具应用于比“原本”更现代和实用的东西。感兴趣的读者可以在Github上找到这些资料。

Github 链接：

https://github.com/jemmybutton/byrne-euclid/

相关报道：

https://habr.com/ru/post/451682