马尔科夫链
为了预测天气，假设观察多次后，得到天气变化的概率存在如下转换：
第一天 | 第二天 | 概率 |
|---|---|---|
晴天 | 晴天 | 0.2 |
晴天 | 阴天 | 0.3 |
晴天 | 雨天 | 0.5 |
阴天 | 晴天 | 0.1 |
阴天 | 阴天 | 0.6 |
阴天 | 雨天 | 0.3 |
雨天 | 晴天 | 0.4 |
雨天 | 阴天 | 0.5 |
雨天 | 雨天 | 0.1 |
那么转移概率矩阵为：
\[ \begin{matrix} & sunny & cloudy & raining \\ sunny & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ cloudy & 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ raining & 0.4 & 0.5 & 0.1 \\ \end{matrix} \]
列代表的是第一天的状态
行代表的是第二天的状态例如最右边一列代表：
- 第一天是晴天，第二天是雨天的概率为0.5
- 第一天是阴天，第二天是雨天的概率为0.3
- 第一天是雨天，第二天是雨天的概率为0.2
那么问题来了，假设今天预测的天气如下，那么明天的天气是怎样子的：
\[ \begin{matrix} & sunny & cloudy & raining \\ today & 0.6 & 0.2 & 0.2 \\ tomorrow & ? & ? & ? \\ \end{matrix} \]
计算如下矩阵相乘即可({1,3}x{3,3}={1,3})：
$ \begin{bmatrix} 0.6 & 0.2 & 0.2 \end{bmatrix} $ X $ \begin{bmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.5\ 0.1 & 0.6 & 0.3\ 0.4 & 0.5 & 0.1 \end{bmatrix} $
= $ \begin{bmatrix}0.6\times0.2+0.2\times0.1+0.2\times0.4 & 0.6\times0.3+0.2\times0.6+0.2\times0.5 & 0.6\times0.5+0.2\times0.3+0.2\times0.1 \end{bmatrix} $
= $ \begin{bmatrix} 0.22 & 0.4 & 0.38 \end{bmatrix} $
得到结果为：
\[ \begin{matrix} & sunny & cloudy & raining \\ today & 0.6 & 0.2 & 0.2 \\ tomorrow & 0.22 & 0.4 & 0.38 \\ \end{matrix} \]
也可以用如下计算：
\[ \begin{matrix} & sunny & cloudy & raining \\ sunny & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ cloudy & 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ raining & 0.4 & 0.5 & 0.1 \\ \end{matrix} \]
列代表的是第一天的状态
行代表的是第二天的状态
那么第三天的状态呢？$ \begin{bmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.5\ 0.1 & 0.6 & 0.3\ 0.4 & 0.5 & 0.1 \end{bmatrix} $ X $ \begin{bmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.5\ 0.1 & 0.6 & 0.3\ 0.4 & 0.5 & 0.1 \end{bmatrix} $
= $ \begin{bmatrix} 0.2\times0.2+0.3\times0.1+0.5\times0.4 & 0.2\times0.3+0.3\times0.6+0.5\times0.5 & 0.2\times0.5+0.3\times0.3+0.5\times0.1\ 0.1\times0.2+0.6\times0.1+0.3\times0.4 & 0.1\times0.3+0.6\times0.6+0.3\times0.5 & 0.1\times0.5+0.6\times0.3+0.3\times0.1\ 0.4\times0.2+0.5\times0.1+0.1\times0.4 & 0.4\times0.3+0.5\times0.6+0.1\times0.5 & 0.4\times0.5+0.5\times0.3+0.1\times0.1 \end{bmatrix} $
= $ \begin{bmatrix} 0.27 & 0.49 & 0.24\ 0.2 & 0.54 & 0.26\ 0.17 & 0.47 & 0.36 \end{bmatrix} $
\[ \begin{matrix} & sunny & cloudy & raining & sunny & cloudy & raining\\ sunny & 0.2 & 0.3 & 0.5 & 0.27 & 0.49 & 0.24\\ cloudy & 0.1 & 0.6 & 0.3 & 0.2 & 0.54 & 0.26\\ raining & 0.4 & 0.5 & 0.1 & 0.17 & 0.47 & 0.36\\ \end{matrix} \]