8-1 图结构

1、图结构

前面已经讲了 "一对一" 的线性存储结构、"一对多"的树结构 ， 现在介绍 "多对多" 的图结构

图G由两个集合 V和E 组成， 记为G=( V, E) ， 其中 V是顶点（vertex）的有穷 非空 集合，E是指边（edge）的有穷集合。

图存储结构可细分两种表现类型，无向图 和 有向图。

若图G的边没有表示方向，则就称为无向图，这样的边用圆括号表示（Vi, Vj）；

如果图G中的每条边都是有方向的，就称为有向图，边用尖括号表示< Vi, Vj>， 表示从Vi指向Vj。

下面介绍一些图的基本定义：

①邻接点：

对于无向图，每条边的两个端点互为邻接点；

对于有向图， 有向边的终点是 起点的 邻接点，反之不成立！

比如 < U, V> 表示 U 指向 V， 所以 V 是 U 的邻接点， 但 U 不是 V 的邻接点!

②弧头和弧尾：

有向边也被称为 弧 ，无箭头一端的顶点通常被称为"初始点"或"弧尾"，箭头指向的顶点被称为"终端点"或"弧头"。

③度：

常用D(V)来表示，在无向图中，顶点的度 就是 以该顶点为端点的边的条数；

在有向图中，指向该顶点的弧的数目 称为 入度ID(V)， 从该顶点出发的 弧 的数目 称为 出度OD(V)。

有向图的顶点的度是二者之和 D(V) = ID(V) + OD(V).

重要结论： 无论是有向图还是无向图，顶点数n、边数e、和度数之间有关系：所有顶点的度数之和 等于 边数的2倍

④路径和回路：

从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条路径。

如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为"回路"（或"环"）。

若路径 / 回路 中各顶点都不重复，此路径又被称为"简单路径" / "简单回路"

⑤权和网的含义

图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为"权"，

而带权的图通常称为网。

2、常见的图的种类

可分为完全图，连通图、稀疏图和稠密图：

①完全图

若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为完全图。同时，满足此条件的有向图则称为有向完全图。

②稀疏图和稠密图

这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为"稀疏图"；反之，则称此图为"稠密图"。

稀疏和稠密的判断条件是：e<nlogn，其中 e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量。

如果式子成立，则为稀疏图；反之为稠密图。

③连通图

在无向图中，若每一对顶点 u和v之间都能找到一条路径，则此图称为 连通图；

若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。

（这里的子图指的是图中"最大"的连通子图）

在有向图中，若每一对顶点u和v之间都存在 u到v 以及 从 v到u的路径，则成为强连通图。

若有向图本身不是强连通图，但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质，则称该子图为强连通分量。

④生成树

对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为生成树。

连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的方式有多种，往往一张连通图可能有多种不同的生成树与之对应。

连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：

●包含连通图中所有的顶点；

●任意两顶点之间有且仅有一条通路；

因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。

⑤生成森林

生成树是对应连通图来说，而生成森林是对应非连通图来说的。

非连通图可分解为多个连通分量，而每个连通分量又各自对应多个生成树（至少是 1 棵），因此与整个非连通图相对应的，是由多棵生成树组成的生成森林