统计学之假设检验

P-值规则：先把显著性水平α值转化为一定分布下的临界值，然后在计算检验统计值，最后把检验统计值与临界值相互比较来判断是否拒绝原假设。在双侧检验时，α平分在两侧，临界值为±Zα/2（正太分布的情况）或±t(α/2,n-1)（t分布）。在正太分布时，α为0.05时，Zα/2=1.96。

在单侧检验时，α处于分布某一侧，左单检验处于左侧，临界值表示为-Zα或-t(α,n-1)，右单检验处于右侧，临界值表示为Zα或t(α,n-1)。在正太分布下，α为0.05时，Zα=1.64。

如果检验统计量值的绝对值小于临界值，就接受原假设；若检验统计量的绝对值大于或等于临界值，就拒绝原假设。临界值将样本统计量的概率分布区域分成了两个部分：超过临界值区域称作拒绝域，不超过临界值的区域称作接受域。

P-值规则类似。先计算检验统计值Z，然后求出统计量分布曲线图中与检验统计值相对应称之为观测到的显著性水平P值，最后把观测到的P值与显著性水平比较决定拒绝或接受原假设。

几种常见的假设检验：

一、总体均值的检验：

（1）总体服从正态分布且方差已知：

总体服从正太分布N(X,S2)，那么样本均值也服从正态分布N(X,S2/n).统计量Z服从正太分布。

当原假设为真时，构造检验统计量：

（2）总体分布及方差都未知但样本容量n>30:

根据中心极限值定理，样本均值服从正太分布。由于总体分布未知，用样本方差来估计总体方差，这是统计量服从正太分布。

当原假设为真时，构造检验统计量：

（3）总体为正态分布，但方差未知且为小样本：

用样本方差估计总体方差，此时统计量t服从自由度为n-1的卡方分布。

如果原假设成立，构造检验统计量为：

二、两个总体均值之差的检验

两个总体均值分别为X1和X2,总体标准差分别为S1和S2，来自两个总体的样本容量n1和n2，样本均值x1和x2。检验的目的是两个总体的均值是否相等，或者两个总体的均值之差的是否为零。假设检验如下：

（1）两个总体服从正太分布且方差已知

根据抽样分布原理。统计量Z服从标准正太分布：

若原假设成立，构造检验统计量为：

（2）两个总体方差未知但为大样本

用样本方差来估计总体方差，当样本容量都足够大时，统计量Z服从标准正太分布：

当原假设成立时，构造检验统计量：

（3）若两个总体服从正太分布，但差未知且为小样本

此时当n1和n2都不够大时，如下统计量服从自由度为n1+n2-2的t分布：

当原假设成立时，检验统计量为：

例子：重庆市居民随机抽查100人，平均消费支出1300元，标准差为80元；成都市随机抽查了120人，平均消费为1320元，标准差为100元。问在5%的显著性水平下，重庆市和成都市的消费水平是否有显著性差异？

分析：是双侧检验的问题，原假设两城市消费水平相等23。样本均值和标准差都已知；可计算处检验统计量Z为：

在α=5%的显著性水平下Zα/2=1.96，计算得到 |Z|=-1.65<Zα/2=1.96,在接受域内，即认为两个城市的消费水平无显著性差异。