DP专题 6 | 石子合并 CH5301（区间DP）
DP专题 6 | 石子合并 CH5301（区间DP）
欢迎回来~继续我们的DP专题，上一篇我们讲了一个较为复杂的线性DP问题，这一次让我们看一看区间DP问题。
区间DP直观上可以理解成对于一个区间计算最优解的问题。先来看下本题的题目，直接上中文。
题目大意：设有N堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，N（N<=300）。每堆沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆沙子合并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有4堆沙子分别为 1 3 5 2 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24，如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小。输出最小代价。
区间DP通用的转移方程如下：
f(i,j) = min{f[i,k] + f[k+1,j] + cost(i,j)
其中cost为将区间i~j合并起来的代价，可以用前缀和来计算（前缀和传送门）。
区间DP中要比较小心的是阶段的划分，本题中使用区间长度len作为阶段，为什么要选用len呢？单纯的看状态转移方程，我们很难确定如何划分阶段，因为里面没有任何关于len的信息。
对于使用递推的方式来解决DP问题，我们都需要从初始值推导出后续值，比如从0一直到N，而不能反着来。区间DP也有同样的处理方式，我们必须先从区间长度为0的初始值出发，也就是说，f(i,j)其实可以等价于一维的F(len)。
F(0) => f(0,0) f(1,1) f(2,2) ...... f(n,n)
那么使用len作为阶段就很正常的。
实现过程中除了注意len作为阶段，还需要注意初始化f[k][k]=0, 而f[i][j]初始化为比较大的数字。
打印语句可以比较清晰的看出是如何递推的。
示例：
4
1 3 5 2
f[1][2] -> f[1][1]+f[2][2]
f[1][2]=4
f[2][3] -> f[2][2]+f[3][3]
f[2][3]=8
f[3][4] -> f[3][3]+f[4][4]
f[3][4]=7
f[1][3] -> f[1][1]+f[2][3]
f[1][3] -> f[1][2]+f[3][3]
f[1][3]=13
f[2][4] -> f[2][2]+f[3][4]
f[2][4] -> f[2][3]+f[4][4]
f[2][4]=17
f[1][4] -> f[1][1]+f[2][4]
f[1][4] -> f[1][2]+f[3][4]
f[1][4] -> f[1][3]+f[4][4]
f[1][4]=22源代码：G++
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1100
int a[1100];
int s[1100];
int f[N][N];
int main() {
#ifdef __MSYS__
freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif
int n;
scanf("%d", &n);
// 注意初始化为比较大的数字
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &a[i]);
s[i] = s[i - 1] + a[i];
// l和r相等不需要合并，为0
f[i][i] = 0;
printf("s[%d]=%d a[%d]=%d\n", i, s[i], i, a[i]);
}
// 计算阶段，高阶依赖低阶，以长度为阶
for (int len = 2; len <= n; ++len) {
// len=2 1/2/3 =(4-2+1)
for (int l = 1; l <= n - len + 1; ++l) { // left
int r = l + len - 1; // right
//
for (int k = l; k < r; ++k) {
// 计算最小值
f[l][r] = std::min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r]);
printf("f[%d][%d] -> f[%d][%d]+f[%d][%d]\n", l, r, l, k, k+1, r);
}
// 加上cost
f[l][r] += s[r] - s[l - 1];
printf(" f[%d][%d]=%d\n", l, r, f[l][r]);
}
}
printf("%d\n", f[1][n]);
return 0;
}