如何给一千万个整数快速排序

前言

输入:一个最多包含n个正整数的文件,每个数都小于n,其中n=10^7。如果在输入文件中有任何正数重复出现就是致命错误。没有其他数据与该正数相关联。

输出:按升序排列的输入整数的列表。

约束:最多有(大约)1MB的内存空间可用,有充足的磁盘存储空间可用。运行时间最多几分钟,运行时间为10秒就不需要进一步优化。

这是《编程珠玑》中很有意思的一个问题。今天给大家分享一下并附上自己的代码实现。

分析

这个问题的限制在于,大约只有1MB的内存空间可用,而存储10^7个整数却大约需要4*10^7字节即大约需要40M内存,显然是不够用的。 一种思路是,既然总的内存不够,我们可以读取40次,例如,第一次读取0至249 999之间的数,并对其进行排序输出,第二次读取250 000 至499 999之间的数,并对其排序输出。以次类推,在进行了多次排序之后就完成了对所有数据的排序,并输出到文件中。

另外一种思路是,既然有充足的磁盘存储空间可用,那么我们可以借助中间文件。读入一次输入文件,利用中间文件进行归并排序写入输出文件。

那么能否结合两种思路呢?即只需要读取一次,也不借助中间文件?或者说,如何用大约1MB内存空间,即大约800万个比特位最多表示10^7个互异的数呢?

位图法

借助位图法当然是可以的。我们可以用一个比特位来代表一个数。例如,对于整数集合{1,2,5,6,7},可以使用下面的比特位表示:

0 1 1 0 0 1 1 1 

数值存在的比特位置为1,其他位为0,对于上面的即可,分别在第1,2,5,6,7比特位置1即可。而上面的比特位转换为整数值为103,只需要一个字节便可存储。

回到我们之前的问题。对于最多10^7个整数,我们大约需要10^7个比特位,即10^7/(8*1024*1024)MB,约1.2M的内存即可存储。

至此,我们可以梳理出算法大体流程: 1.对给定大小的数组所有比特位置0 2.循环读取输入文件的数据,并将对应数值大小的比特位置1 3.遍历数组各比特位,如果位为1,则输出对应比特位的位置整数

C语言实现

C语言实现代码如下:

//来源:https://www.yanbinghu.com
//bitmap.c
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define CHAR_BIT    8            // char类型占用的bit位数
#define SHIFT        3            //左移的位数
#define MAX_NUM        10000000     
#define BIT_SIZE    10000000*8   //所需比特位总数量
#define MAX_STR     10           //一个整数所需最大字符数
#define INPUT_FILE  "srcNum.txt"
#define OUTPUT_FILE "dstNum.txt"
/*将整数对应的比特位置1*/
int putIntoBitMap( char *bitmap, int num )
{
    int byte    = num >> SHIFT;
    char    bit = 1 << num % CHAR_BIT;
    bitmap[byte] = bitmap[byte] | (char) bit;
    return 0;
}

/*判断整数是否在位图中*/
int isInBitMap( char *bitmap, int num )
{
    int byte    = num >> SHIFT;
    char    bit = 1 << num % CHAR_BIT;
    if ( bitmap[byte] & (char) bit )
        return 1;
    else
        return 0;
}

int main(void)
{
    /*打开源文件*/
    FILE    *in = fopen( INPUT_FILE, "r" );
    if(NULL == in)
    {
        printf("open src num failed");
        return -1;
    }

    /*申请位图相关内存,并初始化为0*/
    char    string[MAX_STR] = { 0 };
    char    *bitmap = (char*)calloc(MAX_NUM,sizeof(char));
    if(NULL == bitmap)
    {
        fclose(in);
        return -1;
    }
    int num = 0;
    /*循环读取文件中的整数,并将对应位置1*/
    while(fgets(string, MAX_STR, in ) != NULL )
    {
        num = atoi( string );
        putIntoBitMap( bitmap, num );
        //printf("%d\n",num);
    }
    fclose(in);

    /*遍历位图中的比特位,为1,则输出整数到文件中*/
    FILE *out = fopen( OUTPUT_FILE, "w+" );
    if(NULL == out)
    {
        printf("open dst num failed");
        free(bitmap);
        bitmap = NULL;
        return -1;
    }
    int i;
    for ( i = 0; i < BIT_SIZE; i++ )
    {
        if ( isInBitMap( bitmap , i ) )
        {
            fprintf( out, "%d\n", i );
            //printf("%d\n",i);
        }

    }
    fclose(out);
    free(bitmap);
    bitmap = NULL;
    return 0;
}

srcNum.txt中存放了早已生成好的小于10^7的大量无重复整数,编译运行结果如下:

gcc -o bitmap bitmap.c
time ./bitmap

real    0m1.830s
user    0m1.729s
sys    0m0.100s

可以看到运行时间为秒级。 关键点说明:

  • putIntoBitMap和isInBitMap函数是该算法的关键函数
  • putIntoBitMap将整数对应的比特位置1
  • isInBitMap 判断整数所在比特位是否为1
  • 例如对于整数81,它所在的字节数是81/8 = 10,第10字节(从0开始数),所在的比特位为81%8=1,第1个比特位。那么我们只需要将第10字节的第1个比特位置1即可。
  • 如何将第n个比特位置1?先将1左移n位(n小于8),得到一个值,再将这个值与该字节进行相或即可。例如,如果需要将第4个比特位置1,则1左移4位,得到二进制的00010000即16,若原来该字节值为01000000,即64时,只需将64与16逻辑或即可。
00010000
01000000   
01010000  #逻辑或之后的结果

上面的程序还有很多不足之处,包括未对输入做任何检查,未对输入数量做校验等等。这一切都基于输入数据都是正确的,但这丝毫不影响我们对该算法思想的理解。

原文地址:守望的个人博客 https://www.yanbinghu.com/2018/12/08/34927.html

总结

位图法适用于大规模数据,但数据状态又不是很多的情况。对于上面的程序,几乎是做完读取操作之后,排序就完成了,效率惊人。

思考

给定一个最多包含40亿个随机排列的32位整数的文件,如何快速判断给出的一个数是否在其中?

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