什么是二叉查找树？
树简介
对于树的基本认识，我们很容易通过我们平常所见到的树来理解：一棵树，有一个根，根往上又会分叉出大树枝，大树枝又会分叉出小树枝，以此往复，直到最后是叶子。而作为数据结构的树也是类似的，只不过我们通常将它倒着画。树的应用也相当广泛，例如在文件系统，数据库索引中的应用等。本文会对树的基本概念做介绍，但重点介绍二叉查找树。
现实中的树
树的定义
树是一种无向图，其中任意两个节点间存在唯一一条路径。树常常用一种递归的方式来定义，它是一种数据结构，要么为空，要么具有一个值并且有零个或多个孩子，而每个孩子又是树。
例如下图一棵树，任意两个节点间只有一条路径可到达：
树 图一：树
但下图并非树：
非树 图二：非树
因为从节点root到节点b并非只有一条路径。
树的种类
我们可能已经听过很多树的名词，例如，红黑树，霍夫曼树，B树，B+树，平衡二叉树等等，而本文将要介绍二叉查找树，很多其他树都是它的变种，不像链表的线性访问，二叉查找树的大部分操作时间复杂度都为O(logN)。
常见名词解释
在学习二叉查找树之前，必须要先了解一些名词，我们借助下面的图来了解，如果已经清楚了可以跳过此节。
介绍树的基本名词：
- 根节点：root节点没有父节点，我们把它称为根节点
- 父节点：如b节点的父节点为root节点
- 子节点：在图三中，root有三个孩子，分别是b，c，d，它们都是root的子节点
- 兄弟节点：b有两个兄弟节点，c，d，因为它们有相同的父节点root
- 叶子节点:e f等节点，它们没有子节点，因此是叶子节点。
- 树的深度:树的深度等于它的最深的树叶的深度，而树叶的深度为从根到本叶子节点的路径长（边数）。根节点的深度为0，例如，图三树的深度root->b->e（也可选其他树叶的深度）为2。
- 树的层：树的深度+1，根节点的层为1。
- 二叉树：如图四，每个节点最多两个子节点，
树 图三：树
二叉树 图四：二叉树
二叉查找树
二叉树是一种树的特殊形式，它的每个节点最多两个孩子节点，分别为左孩子和右孩子。而二叉查找树在此基础上，还有一个特点，就是每个节点比它左子树的节点值都要大，而比右子树的节点值都要小。
二叉查找树操作
二叉查找树常见操作有插入，查找，删除以及遍历。而实际上二叉查找树既可以使用数组来实现，也可以使用链表，本文采用链表来实现。另外本文也排除了两个节点存在相同值的情况。
节点定义
我们使用一个结构体来定义它：
typedef struct Tree_Node
{
ElementType value; //节点值
struct Tree_Node *left; //左节点
struct Tree_Node *right; //右节点
}TreeNode;二叉查找树的插入
我们以数据 10,5,19，4,8，13,24为例，来看看二叉查找树的插入流程是怎样的。
- 插入节点值10，由于原先无节点，因此10作为根节点
- 插入节点值5，与根节点比较，比根节点小，因此将插入到左子树，而19比根节点大，将插入右子树。
二叉查找树插入 图五：二叉查找树插入1
- 节点值4，与根节点10比较，比根节点小，因此将插入到左子树，继续与5比较，比5小，将插入左子树；节点8，与根节点10比较，比根节点小，因此插入到左子树，与5比较，比5大，因此插入到右子树。
二叉查找树插入 图六：二叉查找树插入2
- 节点值13，与根节点比较，比根节点大，因此将插入到右子树，继续与19比较，比19小，因此插入到左子树；节点值24，与根节点比较，比根节点大，因此将插入到右子树，与19比较，比19大，因此插入到右子树。
二叉查找树插入 图七：二叉查找树插入3
最终完成了所有元素的插入。而观察插入后的二叉树可以发现，每个节点都要比左子树的值大，而比右子树的值小。另外，我们在插入的时候不断地与节点值比较，比它大，则将插入右子树，而比它小，则将插入左子树，因此这个过程非常容易用递归来实现。
/*将value插入到树中*/
TreeNode *insertTree(ElementType value,TreeNode *tree)
{
if(NULL == tree)
{
/*创建一个节点*/
tree = malloc(sizeof(TreeNode));
if(NULL == tree)
{
printf("malloc failed\n");
return NULL;
}
else
{
/*将节点信息存储在此叶子节点中*/
printf("insert %d to tree\n",value);
tree->value = value;
tree->left = NULL;
tree->right = NULL;
}
}
/*比当前节点小，则插入到左子树*/
else if(value < tree->value)
{
tree->left = insertTree(value,tree->left);
}
/*比当前节点大，则插入到右子树*/
else if(value > tree->value)
{
tree->right = insertTree(value,tree->right);
}
return tree;
}二叉查找树的查找
实际上，我们在做插入操作的时候，已经在做查找动作了，因为为了将一个元素插入到正确的位置，我们需要从根节点开始，不断比较其值和要插入（查找）的值的大小，如果比该节点值小，则说明该值需要插入到左子树，否则插入到右子树，并且递归调用，最终找到插入的位置。
查找的思路有点像二分查找，我们知道根节点左子树的值都比根节点值小，而右子树的值都比根节点的值要大，以此递归调用，可以很容易找到：
/*查找值为value的节点*/
TreeNode *findTree(ElementType value,TreeNode *tree)
{
if(NULL == tree)
{
/*最后一层还没有找到*/
return NULL;
}
/*从左子树查找*/
if(value < tree->value)
{
return findTree(value,tree->left);
}
/*从右边子树查找*/
else if(value > tree->value)
{
return findTree(value,tree->right);
}
/*找到*/
else
return tree;
}二叉查找树的删除
相对来说，删除要比插入和查找复杂很多。因为它需要考虑很多情况：
- 删除的节点为叶子节点，直接删除
- 删除的节点有一个子节点，可以将该子节点作为其父节点的子节点
- 删除的节点有两个子节点，我们可以采取这样的策略：用右子树最小值代替该节点，并递归删除那个节点值。需要递归删除是因为这个最小值的节点可能还有右子树，因此需要做同样的删除操作（它不会有左子树，因为它自己的值最小）。
第一种情况很容易理解，我们来看第二种和第三种情况。
先看第三种情况，假如我们要从前面的二叉树中删除节点值为10的节点。首先我们可以找到节点值为10的节点的右子树的最小值，为13，因此，将13代替节点值为10的节点值，而幸运的是，节点值为13的节点没有右子树，因此释放根节点的内存，完成删除操作。删除前后如图所示：
二叉查找树删除
图八：二叉查找树删除1
再看第二种情况，假如此时要删除值为19的节点，从图中可知，它有一个右儿子，因此删除该节点后，需要将其父节点指向它的右儿子，删除后如下图：
二叉查找树删除2
图九：二叉查找树删除2
总体来说，删除操作并不是一次简单的查找就可以完成，甚至删除会使得整个二叉树变得非常不平衡，所以如果删除次数不多，完全可以采用懒惰删除，即当节点被删除时，仅做一个标记，表明它被删除了，而不是真的从树中移除，这样虽然表面上浪费了一点空间，但是如果后面又要插入该元素值，则为新元素分配内存的开销就免了。
根据上面的分析，代码如下：
TreeNode *deleteTree(ElementType value,TreeNode *tree)
{
TreeNode *tempNode = NULL;;
if(NULL == tree)
{
printf("not fount \n");
return NULL;
}
/*比当前节点值小，从左子树查找并删除*/
else if(value < tree->value)
{
tree->left = deleteTree(value,tree->left);
}
/*比当前节点值大，从右子树查找并删除*/
else if(value > tree->value)
{
tree->right = deleteTree(value,tree->right);
}
/*等于当前节点值，并且当前节点有左右子树*/
else if(NULL != tree->left && NULL != tree->right)
{
/*用右子树的最小值代替该节点，并且递归删除该最小值节点*/
tempNode = findMin(tree->right);
tree->value = tempNode->value;
tree->right = deleteTree(tree->value,tree->right);
}
/*要删除的节点只有一个子节点或没有子节点*/
else
{
tempNode = tree;
/*要删除节点有右孩子*/
if(NULL == tree->left)
tree=tree->right;
/*要删除节点有左孩子*/
else if(NULL == tree->right)
tree = tree->left;
free(tempNode);
tempNode = NULL;
}
return tree;
}完整代码及运行结果
完整代码可阅读原文或访问 https://www.yanbinghu.com/2019/04/07/55964.html查看 编译运行结果：
$ gcc -o binarySearchTree binarySearchTree.c
$ ./binarySearchTree
insert 10 to tree
insert 5 to tree
insert 19 to tree
insert 4 to tree
insert 8 to tree
insert 13 to tree
insert 24 to tree
find 13 总结
本文简单介绍了二叉查找树的插入，查找，删除操作，其中删除操作较为复杂，需要特别注意。