matlab矩阵及其运算(七)
本文作者：过冷水
广义逆矩阵的应用
在上一期中二狗matlab矩阵及其运算(六)给大家讲了三种常见的广逆矩阵类型，感兴趣的读者可以自行回顾。本期开始二狗给大家讲讲广逆矩阵的应用，由于广逆矩阵的应用较广，知识较复杂故分几期给大家讲清楚，本期讲广逆矩阵在矩阵方程和线性方程组中的应用。由于推论和定理较多所以单独做一期。
定理 设A∈Cmxn，B∈Cpxq,D∈Cmxn,则矩阵方程
AXB = D
有解得充要条件为，存在A-,B-,使得
A-ADB-B = D
且其通解为
X=A-DB-+Y-A-AYBB-, Y属于任意∈Cnxp
证：必要性 设式AXB=D有解X0,则AX0B=D,两边左乘以AA-,右乘以B-B,得
AA-DB-B = AA-AX0BB-B
=AX0B
=D
其中A-,B-分别为A，B的任意的广逆矩阵。
证：充分性 设存在A-、B-使A-ADB-B=D成立，则X=A-DB-即为方程的解，又因为
AXB = AA-DB-B + AYB - AA-AYBB-B
=D
所以式X=A-DB-+Y-A-AYBB-的X为方程AXB=D的解，又由Y得任意性知X为方程的通解。
推论（1）设A-是A的一个广义逆矩阵，则A的广义逆矩阵X的一般形式为
X = A-+ Z - A-AZAA-,
推论（2）AX=D有解得充要条件为存在A-，使得 AA-D=D
其通解为
X = A-D + Y - A-AY
定理 设A∈Cmxn，D∈Cmxq,则方程组
AX = b
有解得充要条件为存在A-,使得
AA-b = b
且其通解为
X = A-b + (In - A-A)Y
推论 AX = 0的通解为X = (In - A-A)Y
定理 设A∈Cmxn，B∈Cmxl,D∈lxk,E∈Cnxk则
AX = B
XD =E
有公共解的充要条件为。两个方程组分别有解，且
AE = BD
若X0为方程的解，则其通解为
X = X0 + (In-A-A) Y（Il-DD-）
证: 必要性 设公式有公共解X，于是
AXD = BD
AXD = AE
所以
AE = BD
证：充分性 设式的两个方程分别有解，且式成立，令
X = A-B+ED--A-AED-
易证X同时满足式的两个方程，即式有两个公共解，则
A(X-X0)=O
(X-X0)D=O
由此有
R(X-X0) ∈ N(A)
R(D) ∈ N(X-X0)
于是存在矩阵Y,Z使得
X-X0=(In-A-A)Y
=Z(Il-DD-),
故
X-X0=(In-A-A)2Y
=(In-A-A)z(Il-DD-)
定理 设A，B ∈ Cmxn，则
AX = a; BX = b
有公共解的充要条件为
B+b-A+a ∈ N(A)+N(B)
证: 必要性 设AX=a,BX=b有公共解，则
X = A+a+(In-A-A)Y ∀Y∈Cn
X = B+b+(In-B-B) ∀Z∈Cn
于是
B+b-A+a = (In-A-A)Y - (In-B-B)Z ∈ N(A)+N(B)
证：充分性 设B+b-A+a ∈ N(A)+N(B)成立 ，即
B+b-A+a=a+b
a∈N(A);b∈N(B)
令
X=B+b-b
=A+a+a
则
AX = AA+a + Aa
=a
BX = B+b - Bb
=b
即 X 是公共解
案例 1：求解线性方程组
的通解。
解 写成矩阵形式AX=b
format rat
syms c1 c2 c3
A=[1 2 -1;0 -1 2];
B=[1;2];
A_inv=A'*inv((A*A'))
A_inv =
5/14 2/7
3/7 1/7
3/14 4/7 由定理可知方程通解为
X=A_inv*B+[eye(3,3)-A_inv*A]*[c1;c2;c3]；
X =
(9*c1)/14 - (3*c2)/7 - (3*c3)/14 + 13/14
(2*c2)/7 - (3*c1)/7 + c3/7 + 5/7
c2/7 - (3*c1)/14 + c3/14 + 19/14即
案例2：求方程组
令
原方程组
AX=b
X为未知向量
由定理可求
format rat
syms y1 y2 y3 y3 y4 y5
A=[1 1 0 -3 -1;1 -1 2 -1 0;4 -2 6 3 -4;2 4 -2 4 -7];
B=[2;1;7;1];
M=rref(A)/A
P=(rref(rref(A)')/rref(A)')'
M =
2/9 0 8/45 1/30
1/9 0 -1/9 1/6
-2/9 0 1/45 1/15
0 0 0 0
P =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5/12 -7/12 0 0 0
-1/6 -1/6 1 0 0
-1/2 -1/2 0 0 0 满足
可得
C=rref(rref(A)');
A_inv=P*C*M
A_inv =
0 0 0 0
0 0 0 0
1/36 0 5/36 -1/12
-5/18 0 1/90 1/30
-1/6 0 -1/30 -1/10 
A_inv*B
ans =
0
0
17/18
-4/9
-2/3
A_inv*A
ans =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5/12 -7/12 1 0 0
-1/6 -1/6 0 1 *
-1/2 -1/2 0 0 1 方程组的通解为
X=A_inv*B+(eye(5)-A_inv*A)*[y1;y2;y3;y4;y5]
X = y y2
(7*y2)/12 - (5*y1)/12 - y4/18014398509481984 + 17/18
y1/6 + y2/6 - (9*y3)/72057594037927936 - y5/18014398509481984 - 4/9
y1/2 + y2/2 - (5*y3)/36028797018963968 - y4/18014398509481984 - 2/3本期关于广逆矩阵的应用就讲这么多，想进一步了解逆广矩阵的应用请持续关注MATLAB矩阵及运算连载。
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