LightOJ_1038 Race to 1 Again

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题意:

  给一个数n, 每次操作是随机的选择一个[1,N]区间内能够被n整除的数进行除法, 然后得到一个新的n。

  问n变成1时的期望操作次数。

思路:

  设E[n] 为 当数为x时, 变成 1 期望的次数, 则有转移方程。

  E[n] = sigma E[n / x[i]] / k + 1(x[i] 为能被n被整除的数), k为n在区间[1,n]能被n整除的个数。

  化简:E[n] = E[n] / k + sigma E[n / x[i]] / k + 1

        = k * (sigmaE[n / x[i]] / k + 1) / (k - 1)

        = (sigmaE[n / x[i]] + k) / (k - 1)。

代码:

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdlib>
 5 #include <ctime>
 6 #include <set>
 7 #include <map>
 8 #include <list>
 9 #include <queue>
10 #include <string>
11 #include <vector>
12 #include <fstream>
13 #include <iterator>
14 #include <iostream>
15 #include <algorithm>
16 using namespace std;
17 #define LL long long
18 #define MAXN 100010
19 #define MOD 1000000007
20 #define eps 1e-6
21 int n;
22 double f[MAXN];
23 bool vis[MAXN];
24 vector <int> g[MAXN];
25 void init()
26 {
27     for(int i = 2; i < MAXN; i ++)
28         for(int j = 1; j * i < MAXN; j ++)
29             g[j * i].push_back(i);
30 
31     f[1] = 0;
32     memset(vis, false, sizeof(vis));
33 }
34 double dp(int x)
35 {
36     if(x == 1) return 0.0;
37     if(vis[x]) return f[x];
38     vis[x] = true;
39     double& ans = f[x];
40     ans = 0.0;
41     for(int i = 0; i < g[x].size(); i ++)
42         ans += dp(x/g[x][i]);
43     ans += (g[x].size() + 1.0);
44     ans /= g[x].size();
45     return ans;
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     int T;
51     int kcase = 0;
52     init();
53     scanf("%d", &T);
54     while(T --)
55     {
56         scanf("%d", &n);
57         printf("Case %d: %.7lf\n", ++ kcase, dp(n));
58     }
59     return 0;
60 }

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