深入机器学习系列之BFGS & L-BFGS

前言

牛顿法及拟牛顿法是机器学习最常用的一类优化算法,今天我们就从牛顿法开始,介绍拟牛顿法算法及源码解析。

1 牛顿法

设f(x)是二次可微实函数,又设

是f(x)一个极小点的估计,我们把f(x)在

处展开成Taylor级数, 并取二阶近似。

上式中最后一项的中间部分表示f(x)在

处的Hesse矩阵。对上式求导并令其等于0,可以的到下式:

设Hesse矩阵可逆,由上式可以得到牛顿法的迭代公式如下**(1.1)**

值得注意 , 当初始点远离极小点时,牛顿法可能不收敛。原因之一是牛顿方向不一定是下降方向,经迭代,目标函数可能上升。此外,即使目标函数下降,得到的点也不一定是沿牛顿方向最好的点或极小点。因此,我们在牛顿方向上增加一维搜索,提出阻尼牛顿法。其迭代公式是**(1.2)**:

其中,lambda是由一维搜索(参考文献【1】了解一维搜索)得到的步长,即满足

2 拟牛顿法

2.1 拟牛顿条件

前面介绍了牛顿法,它的突出优点是收敛很快,但是运用牛顿法需要计算二阶偏导数,而且目标函数的Hesse矩阵可能非正定。为了克服牛顿法的缺点,人们提出了拟牛顿法,它的基本思想是用不包含二阶导数的矩阵近似牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵。由于构造近似矩阵的方法不同,因而出现不同的拟牛顿法。

下面分析怎样构造近似矩阵并用它取代牛顿法中的Hesse矩阵的逆。上文**(1.2)**已经给出了牛顿法的迭代公式,为了构造Hesse矩阵逆矩阵的近似矩阵

,需要先分析该逆矩阵与一阶导数的关系。

设在第k次迭代之后,得到

,我们将目标函数f(x)在点

展开成Taylor级数, 并取二阶近似,得到

由此可知,在

附近有,

则有

又设Hesse矩阵可逆,那么上式可以写为如下形式。

这样,计算出p和q之后,就可以通过上面的式子估计Hesse矩阵的逆矩阵。因此,为了用不包含二阶导数的矩阵

取代牛顿法中Hesse矩阵的逆矩阵,有理由令

满足公式**(2.1)**:

公式**(2.1)**称为拟牛顿条件。

2.2 秩1校正

当Hesse矩阵的逆矩阵是对称正定矩阵时,满足拟牛顿条件的矩阵

也应该是对称正定矩阵。构造这样近似矩阵的一般策略是,

取为任意一个n阶对称正定矩阵,通常选择n阶单位矩阵I,然后通过修正

给定

。令,

秩1校正公式写为如下公式**(2.2)**形式。

2.3 DFP算法

著名的DFP方法是Davidon首先提出,后来又被Feltcher和Powell改进的算法,又称为变尺度法。在这种方法中,定义校正矩阵为公式**(2.3)**

那么得到的满足拟牛顿条件的DFP公式如下**(2.4)**

查看文献【1】,了解DFP算法的计算步骤。

2.4 BFGS算法

前面利用拟牛顿条件**(2.1)推导出了DFP公式(2.4)。下面我们用不含二阶导数的矩阵

近似Hesse矩阵,从而给出另一种形式的拟牛顿条件(2.5)**:

将公式**(2.1)的H换为B,p和q互换正好可以得到公式(2.5)。所以我们可以得到B的修正公式(2.6)**:

这个公式称关于矩阵B的BFGS修正公式,也称为DFP公式的对偶公式。设

可逆,由公式**(2.1)以及(2.5)**可以推出:

这样可以得到关于H的BFGS公式为下面的公式**(2.7)**:

这个重要公式是由Broyden,Fletcher,Goldfard和Shanno于1970年提出的,所以简称为BFGS。数值计算经验表明,它比DFP公式还好,因此目前得到广泛应用。

2.5 L-BFGS(限制内存BFGS)算法

在BFGS算法中,仍然有缺陷,比如当优化问题规模很大时,矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题,就有了L-BFGS算法。L-BFGS即Limited-memory BFGS。L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息,从而大大减少数据的存储空间。对照BFGS,重新整理一下公式:

之前的BFGS算法有如下公式**(2.8)**

那么同样有

将该式子带入到公式**(2.8)**中,可以推导出如下公式

假设当前迭代为k,只保存最近的m次迭代信息,按照上面的方式迭代m次,可以得到如下的公式**(2.9)**

上面迭代的最终目的就是找到k次迭代的可行方向,即

为了求可行方向r,可以使用two-loop recursion算法来求。该算法的计算过程如下,算法中出现的y即上文中提到的t:

算法L-BFGS的步骤如下所示。

2.6 OWL-QN算法

2.6.1 L1 正则化

在机器学习算法中,使用损失函数作为最小化误差,而最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据,此时, 若参数过分拟合我们的训练数据就会有过拟合的问题。正则化参数的目的就是为了防止我们的模型过分拟合训练数据。此时,我们会在损失项之后加上正则化项以约束模型中的参数:

公式右边的第一项是损失函数,用来衡量当训练出现偏差时的损失,可以是任意可微凸函数(如果是非凸函数该算法只保证找到局部最优解)。第二项是正则化项。用来对模型空间进行限制,从而得到一个更“简单”的模型。

根据对模型参数所服从的概率分布的假设的不同,常用的正则化一般有L2正则化(模型参数服从Gaussian分布)、L1正则化(模型参数服从Laplace分布)以及它们的组合形式。

L1正则化的形式如下

L2正则化的形式如下

L1正则化和L2正则化之间的一个最大区别在于前者可以产生稀疏解,这使它同时具有了特征选择的能力,此外,稀疏的特征权重更具有解释意义。如下图

图左侧是L2正则,右侧为L1正则。当模型中只有两个参数,即

时,L2正则的约束空间是一个圆,而L1正则的约束空间为一个正方形,这样,基于L1正则的约束会产生稀疏解,即图中某一维(

)为0。而L2正则只是将参数约束在接近0的很小的区间里,而不会正好为0(不排除有0的情况)。对于L1正则产生的稀疏解有很多的好处,如可以起到特征选择的作用,因为有些维的系数为0,说明这些维对于模型的作用很小。

这里有一个问题是,L1正则化项不可微,所以无法像求L-BFGS那样去求。微软提出了OWL-QN(Orthant-Wise Limited-Memory Quasi-Newton)算法,该算法是基于L-BFGS算法的可用于求解L1正则的算法。简单来讲,OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新,同时,使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。

2.6.2 OWL-QN算法的具体过程

  • 1 次微分

是一个实变量凸函数,定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的,例如绝对值函数

。但是,从下面的图中可以看出(也可以严格地证明),对于定义域中的任何

,我们总可以作出一条直线,它通过点(

,

),并且要么接触f的图像,要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。推广到多元函数就叫做次梯度。

凸函数

在点

的次导数,是实数c使得:

对于所有I内的x。我们可以证明,在点

的次导数的集合是一个非空闭区间

,其中a和b是单侧极限。

它们一定存在,且满足

。所有次导数的集合

称为函数f在

的次微分。

  • 2 伪梯度

利用次梯度的概念推广了梯度,定义了一个符合上述原则的伪梯度,求一维搜索的可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS中的梯度。

其中

我们要如何理解这个伪梯度呢?对于不是处处可导的凸函数,可以分为下图所示的三种情况。

左侧极限小于0:

右侧极限大于0:

其它情况:

结合上面的三幅图表示的三种情况以及伪梯度函数公式,我们可以知道,伪梯度函数保证了在

处取得的方向导数是最小的。

  • 3 映射

有了函数的下降的方向,接下来必须对变量的所属象限进行限制,目的是使得更新前后变量在同一个象限中,定义函数:

上述函数

直观的解释是若x和y在同一象限则取x,若两者不在同一象限中,则取0。

  • 4 线搜索

上述的映射是防止更新后的变量的坐标超出象限,而对坐标进行的一个约束,具体的约束的形式如下:

其中

是更新公式,

表示

所在的象限,

表示伪梯度下降的方向,它们具体的形式如下:

上面的公式中,

为负伪梯度方向,

选择

的方式有很多种,在OWL-QN中,使用了backtracking line search的一种变种。选择常数

,对于

,使得

满足:

  • 5 算法流程

与L-BFGS相比,第一步用伪梯度代替梯度,第二、三步要求一维搜索不跨象限,也就是迭代前的点与迭代后的点处于同一象限,第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用损失函数的梯度。

3 源码解析

3.1 BreezeLBFGS

spark Ml调用breeze中实现的BreezeLBFGS来解最优化问题。

1val optimizer = new BreezeLBFGS[BDV[Double]]($(maxIter), 10, $(tol))
2val states =
3      optimizer.iterations(new CachedDiffFunction(costFun), initialWeights.toBreeze.toDenseVector)

(可左右滑动)

下面重点分析lbfgs.iterations的实现。

 1def iterations(f: DF, init: T): Iterator[State] = {
 2    val adjustedFun = adjustFunction(f)
 3    infiniteIterations(f, initialState(adjustedFun, init)).takeUpToWhere(_.converged)
 4}
 5//调用infiniteIterations,其中State是一个样本类
 6def infiniteIterations(f: DF, state: State): Iterator[State] = {
 7    var failedOnce = false
 8    val adjustedFun = adjustFunction(f)
 9    //无限迭代
10    Iterator.iterate(state) { state => try {
11        //1 选择梯度下降方向
12        val dir = chooseDescentDirection(state, adjustedFun)
13        //2 计算步长
14        val stepSize = determineStepSize(state, adjustedFun, dir)
15        //3 更新权重
16        val x = takeStep(state,dir,stepSize)
17        //4 利用CostFun.calculate计算损失值和梯度
18        val (value,grad) = calculateObjective(adjustedFun, x, state.history)
19        val (adjValue,adjGrad) = adjust(x,grad,value)
20        val oneOffImprovement = (state.adjustedValue - adjValue)/(state.adjustedValue.abs max adjValue.abs max 1E-6 * state.initialAdjVal.abs)
21        //5 计算s和t
22        val history = updateHistory(x,grad,value, adjustedFun, state)
23        //6 只保存m个需要的s和t
24        val newAverage = updateFValWindow(state, adjValue)
25        failedOnce = false
26        var s = State(x,value,grad,adjValue,adjGrad,state.iter + 1, state.initialAdjVal, history, newAverage, 0)
27        val improvementFailure = (state.fVals.length >= minImprovementWindow && state.fVals.nonEmpty && state.fVals.last > state.fVals.head * (1-improvementTol))
28        if(improvementFailure)
29          s = s.copy(fVals = IndexedSeq.empty, numImprovementFailures = state.numImprovementFailures + 1)
30        s
31      } catch {
32        case x: FirstOrderException if !failedOnce =>
33          failedOnce = true
34          logger.error("Failure! Resetting history: " + x)
35          state.copy(history = initialHistory(adjustedFun, state.x))
36        case x: FirstOrderException =>
37          logger.error("Failure again! Giving up and returning. Maybe the objective is just poorly behaved?")
38          state.copy(searchFailed = true)
39      }
40    }
41  }

(可左右滑动)

看上面的代码注释,它的流程可以分五步来分析。

3.1.1 选择梯度下降方向

1protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]):T = {
2    state.history * state.grad
3}

(可左右滑动)

这里的*是重写的方法,它的实现如下:

 1def *(grad: T) = {
 2     val diag = if(historyLength > 0) {
 3       val prevStep = memStep.head
 4       val prevGradStep = memGradDelta.head
 5       val sy = prevStep dot prevGradStep
 6       val yy = prevGradStep dot prevGradStep
 7       if(sy < 0 || sy.isNaN) throw new NaNHistory
 8       sy/yy
 9     } else {
10       1.0
11     }
12     val dir = space.copy(grad)
13     val as = new Array[Double](m)
14     val rho = new Array[Double](m)
15     //第一次递归
16     for(i <- 0 until historyLength) {
17       rho(i) = (memStep(i) dot memGradDelta(i))
18       as(i) = (memStep(i) dot dir)/rho(i)
19       if(as(i).isNaN) {
20         throw new NaNHistory
21       }
22       axpy(-as(i), memGradDelta(i), dir)
23     }
24     dir *= diag
25     //第二次递归
26     for(i <- (historyLength - 1) to 0 by (-1)) {
27       val beta = (memGradDelta(i) dot dir)/rho(i)
28       axpy(as(i) - beta, memStep(i), dir)
29     }
30     dir *= -1.0
31     dir
32    }
33  }

(可左右滑动)

非常明显,该方法就是实现了上文提到的two-loop recursion算法。

3.1.2 计算步长

 1protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
 2    val x = state.x
 3    val grad = state.grad
 4    val ff = LineSearch.functionFromSearchDirection(f, x, dir)
 5    val search = new StrongWolfeLineSearch(maxZoomIter = 10, maxLineSearchIter = 10) // TODO: Need good default values here.
 6    val alpha = search.minimize(ff, if(state.iter == 0.0) 1.0/norm(dir) else 1.0)
 7    if(alpha * norm(grad) < 1E-10)
 8      throw new StepSizeUnderflow
 9    alpha
10  }

(可左右滑动)

这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5,通过一维搜索计算步长。

3.1.3 更新权重

1protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = state.x + dir * stepSize

(可左右滑动)

这一步对应L-BFGS的步骤的Step 5,更新权重。

3.1.4 计算损失值和梯度

1protected def calculateObjective(f: DF, x: T, history: History): (Double, T) = {
2     f.calculate(x)
3  }

(可左右滑动)

这一步对应L-BFGS的步骤的Step 7,使用传人的CostFun.calculate方法计算梯度和损失值。并计算出s和t。

3.1.5 计算s和t,并更新history

 1//计算s和t
 2protected def updateHistory(newX: T, newGrad: T, newVal: Double,  f: DiffFunction[T], oldState: State): History = {
 3    oldState.history.updated(newX - oldState.x, newGrad :- oldState.grad)
 4}
 5//添加新的s和t,并删除过期的s和t
 6protected def updateFValWindow(oldState: State, newAdjVal: Double):IndexedSeq[Double] = {
 7    val interm = oldState.fVals :+ newAdjVal
 8    if(interm.length > minImprovementWindow) interm.drop(1)
 9    else interm
10  }

(可左右滑动)

3.2 BreezeOWLQN

BreezeOWLQN的实现与BreezeLBFGS的实现主要有下面一些不同点。

3.2.1 选择梯度下降方向

 1override protected def chooseDescentDirection(state: State, fn: DiffFunction[T]) = {
 2    val descentDir = super.chooseDescentDirection(state.copy(grad = state.adjustedGradient), fn)
 3
 4    // The original paper requires that the descent direction be corrected to be
 5    // in the same directional (within the same hypercube) as the adjusted gradient for proof.
 6    // Although this doesn't seem to affect the outcome that much in most of cases, there are some cases
 7    // where the algorithm won't converge (confirmed with the author, Galen Andrew).
 8    val correctedDir = space.zipMapValues.map(descentDir, state.adjustedGradient, { case (d, g) => if (d * g < 0) d else 0.0 })
 9
10    correctedDir
11  }

(可左右滑动)

此处调用了BreezeLBFGS的chooseDescentDirection方法选择梯度下降的方向,然后调整该下降方向为正确的方向(方向必须一致)。

3.2.2 计算步长

 1override protected def determineStepSize(state: State, f: DiffFunction[T], dir: T) = {
 2    val iter = state.iter
 3
 4    val normGradInDir = {
 5      val possibleNorm = dir dot state.grad
 6      possibleNorm
 7    }
 8    val ff = new DiffFunction[Double] {
 9       def calculate(alpha: Double) = {
10         val newX = takeStep(state, dir, alpha)
11         val (v, newG) =  f.calculate(newX)  // 计算梯度
12         val (adjv, adjgrad) = adjust(newX, newG, v) // 调整梯度
13         adjv -> (adjgrad dot dir)
14       }
15    }
16    val search = new BacktrackingLineSearch(state.value, shrinkStep= if(iter < 1) 0.1 else 0.5)
17    val alpha = search.minimize(ff, if(iter < 1) .5/norm(state.grad) else 1.0)
18
19    alpha
20  }

(可左右滑动)

takeStep方法用于更新参数。

 1// projects x to be on the same orthant as y
 2  // this basically requires that x'_i = x_i if sign(x_i) == sign(y_i), and 0 otherwise.
 3
 4  override protected def takeStep(state: State, dir: T, stepSize: Double) = {
 5    val stepped = state.x + dir * stepSize
 6    val orthant = computeOrthant(state.x, state.adjustedGradient)
 7    space.zipMapValues.map(stepped, orthant, { case (v, ov) =>
 8      v * I(math.signum(v) == math.signum(ov))
 9    })
10  }

(可左右滑动)

calculate方法用于计算梯度,adjust方法用于调整梯度。

 1// Adds in the regularization stuff to the gradient
 2  override protected def adjust(newX: T, newGrad: T, newVal: Double): (Double, T) = {
 3    var adjValue = newVal
 4    val res = space.zipMapKeyValues.mapActive(newX, newGrad, {case (i, xv, v) =>
 5      val l1regValue = l1reg(i)
 6      require(l1regValue >= 0.0)
 7
 8      if(l1regValue == 0.0) {
 9        v
10      } else {
11        adjValue += Math.abs(l1regValue * xv)
12        xv match {
13          case 0.0 => {
14            val delta_+ = v + l1regValue   //计算左导数
15            val delta_- = v - l1regValue   //计算右导数
16            if (delta_- > 0) delta_- else if (delta_+ < 0) delta_+ else 0.0
17          }
18          case _ => v + math.signum(xv) * l1regValue
19        }
20      }
21    })
22    adjValue -> res
23  }
24

(可左右滑动)

参考文献

【1】陈宝林,最优化理论和算法

【2】[Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage](docs/Updating Quasi-Newton Matrices with Limited Storage.pdf)

【3】[On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization](docs/On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Optimization.pdf)

【4】L-BFGS算法

【5】BFGS算法

【6】逻辑回归模型及LBFGS的Sherman Morrison(SM) 公式推导

【7】Scalable Training of L1-Regularized Log-Linear Models

原文发布于微信公众号 - 数据猿(datayuancn)

原文发表时间:2019-07-14

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