素数那些事

在我们刚开始编写程序的时候，往往会要求写一个输出n以内（n大于等于2）的所有素数。首先来介绍一下什么是素数。有些数具有特殊的属性，它们不能被表示为两个较小的数字的乘积，如2，3，5，7，等等。这样的数称为素数（或质数），在纯数学和应用数学领域，它们发挥了重要的作用。所有的自然数中的素数的分布并不遵循任何规律。然而还是有人提出了素数分布的规律，比如数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出了黎曼猜想。今天我们就来谈谈黎曼猜想。

黎曼假设（或称黎曼猜想）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。

虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。

假说概述

德国数学家G.F.B. Riemann（G.F.B.黎曼）（1826—1866）观察到，素数的频率与一个复杂的函数密切相关。

ζ（s）= 1 + 1 / 2S+ 1 / 3S+ 1 / 4S+…被称为黎曼Zeta函数。黎曼猜想认为所有素数都可以表示为一个函数。

ζ（s）= 0位于一条垂直直线上

这些是检查自前10000000000000（1×10^13)个解决方案的结果，证明它会带来许多围绕素数分布的奥秘。

猜想来源

黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于 汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了 柏林科学院的通信 院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给 定数值的 素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即 素数的分布。素数又称质数。质数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他 正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的 乘积。从某种意义上讲，它们在 数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的 原子。质数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。

黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了质数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对质数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为 黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了150多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。

当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟 费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。

了解猜想

猜想内容

黎曼观察到，素数的 频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

黎曼ζ 函数 ζ(s) 是 级数表达式

在 复平面上的 解析延拓。

之所以要对这一表达式进行解析延拓， 是因为这一表达式只适用于 复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 （否则 级数不 收敛）。黎曼找到了这一表达式的 解析延拓（当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代 复变函数论术语）。运用 路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：

这里我们采用的是历史文献中的记号， 式中的积分实际是一个环绕正实轴进行的围道积分（即从 +∞ 出发， 沿 实轴上方积分至原点附近， 环绕 原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ ，而且离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0)，按照现代数学记号应记成：

其中积分路径C跟上面所述相同，环绕正实轴，可以形象地这样表示：

式中的 Γ 函数 Γ(s) 是 阶乘函数在复平面上的 推广， 对于 正整数 s>1：Γ（s)=(s-1）！。可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单 极点外在整个 复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：

从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单， 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。

黎曼猜想提出：

黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上，也即方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 数学家们把 复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line（ 临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

猜想最新进展

荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te以及D．T．Winter利用 电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的2亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的。他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。

1982年11月苏联数学家马帝 叶雪维奇在 苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

1975年 美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）>0.3474N（T）。

1980年 中国数学家楼世拓、 姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）>0.35N（T）。

1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式：

文章 的作者根据这个公式的几何意义以及 cos函数的零点性质，直接推导出来No（T）=N（T），即证明了区域内的零点全部落在临界线上。

C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用 复分析的几何思想严格地证明了现代所说的“黎曼猜想”。这也许是数学史上最大的冤案。

等价定理

1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的 素数定理等价。

最近有一个传闻，说Michael Francis Atiyah证明了黎曼猜想，到底他的证明有没有问题谁也不知道，还是拭目以待吧。