动态规划太难？这篇兑换钞票的故事助你通俗理解

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编辑：zglg

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兑换钞票

先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在你的目标是凑出某个金额，需要用到尽量少的钞票。

依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。

这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。

长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。

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鼠目寸光

但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错：

15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票）

15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）

为什么会这样呢？贪心策略错在了哪里？

刚刚已经说过，贪心策略的纲领是：“尽量使接下来面对的w更小”。这样，贪心策略在w=15的局面时，会优先使用11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很高的，必须使用4×1。如果使用了5，w会降为10，虽然没有4那么小，但是凑出10只需要两张5元。

在这里我们发现，贪心是一种只考虑眼前情况的策略，此时贪心变得鼠目寸光。

那么，现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢？

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我是谁

如果直接暴力枚举凑出w的方案，明显复杂度过高。太多种方法可以凑出w了，枚举它们的时间是不可承受的。我们现在来尝试找一下性质。

重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？”接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。

那么，如果我们取了11，最后的代价（用掉的钞票总数）是多少呢？

明显cost=f(4)+1 ，它的意义是：利用11来凑出15，付出的代价等于f(4)加上自己这一张钞票。现在我们暂时不管f(4)怎么求出来。

f(n)：解决了我是谁的问题

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我从哪里来

依次类推，马上可以知道：如果我们用5来凑出15，cost就是f(10) + 1 = 2+1 =3

那么，现在w=15的时候，我们该取那种钞票呢？当然是各种方案中，cost值最低的那一个！

取11：cost = f(4)+1 = 4+1 = 5

取5：cost = f(10) + 1 = 2+1 = 3

取1：cost = f(14) + 1 = 4+1 = 5

显而易见，cost值最低的是取5的方案。我们通过上面三个式子，做出了正确的决策！

这给了我们一个至关重要的启示—— f(n) 只与f(n-1), f(n-5), f(n-11) 相关；更确切地说：

f(n) = min{f(n-1), f(n-5), f(n-11)} + 1

这个式子是非常激动人心的。我们要求出f(n)，只需要求出几个更小的f值；既然如此，我们从小到大把所有的f(i)求出来不就好了？注意一下边界情况即可。

上式：解决了我从哪里来的问题

我们以o(n)的复杂度解决了这个问题。现在回过头来，我们看看它的原理：

f(n) 只与f(n-1), f(n-5), f(n-11)的值相关。

我们只关心f(w) 的值，不关心是怎么凑出w的。

这两个事实，保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略，会分别算出取1、5、11的代价，从而做出一个正确决策，这样就避免掉了“鼠目寸光”！

它与暴力的区别在哪里？我们的暴力枚举了“使用的硬币”，然而这属于冗余信息。我们要的是答案，根本不关心这个答案是怎么凑出来的。譬如，要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值。其他信息并不需要。我们舍弃了冗余信息。我们只记录了对解决问题有帮助的信息——f(n).

我们能这样干，取决于问题的性质：求出f(n)，只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”。

这就是动态规划，dynamic programming

将一个问题拆成几个子问题，

分别求解这些子问题，

即可推断出大问题的解。

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两个性质

无后效性

一旦f(n)确定，“我们如何凑出f(n)”就再也用不着了。

要求出f(15)，只需要知道f(14),f(10),f(4)的值，而f(14),f(10),f(4)是如何算出来的，对之后的问题没有影响。

“未来与过去无关”，这就是无后效性。（严格定义：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。）

最优子结构

回顾我们对f(n)的定义：我们记“凑出n所需的最少钞票数量”为f(n).

f(n)的定义就已经蕴含了“最优”。利用w=14,10,4的最优解，我们即可算出w=15的最优解。

大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”。

引入这两个概念之后，我们如何判断一个问题能否使用DP解决呢？

能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性、最优子结构性质。

文章参考：

https://www.zhihu.com/question/23995189/answer/613096905