干货 | 10分钟教你用branch and bound（分支定界）算法求解TSP旅行商问题
干货 | 10分钟教你用branch and bound（分支定界）算法求解TSP旅行商问题
OUTLINE
- 前言
- 程序说明
- branch and bound过程
- 运行说明
前言
00
前面我们讲了branch and bound算法的原理以及在整数规划模型上的应用代码。但代码都局限于整数规划模型和优化求解器。
我们也说了，branch and bound算法是一个比较通用的算法，可以脱离求解器去求解很多特定的问题的。
所以今天给大家带来一期用分支定界算法求解TSP问题的代码实现，完全脱离求解器，让大家看看该算法的魅力所在。
本文代码下载请移步留言区。
程序说明
01
整个程序如下所示：
其中各个模块说明如下：
- Timer：计时用。
- TSPInstanceReader：TSPLIB标准算例读取用。
- PriorityQueue：优先队列。
- Node：搜索树的节点。
- City：保存城市的坐标，名字等。
- BranchBound_TSP：BB算法主程序。
该branch and bound的搜索树是以优先队列的搜索方式遍历的，结合上期所讲的内容，也可谓是把三种搜索方式的例子都给大家讲了一遍了。
branch and bound过程
02
在此之前，先给大家讲讲最重要的一个点，搜索树的节点定义，节点定义了原问题的solution和子问题的solution。Node节点定义如下：
public class Node {
private ArrayList<Integer> path;
private double bound;
private int level;
public double computeLength(double[][] distanceMatrix) {
// TODO Auto-generated method stub
double distance = 0;
for(int i=0;i<this.getPath().size()-1;i++){
distance = distance + distanceMatrix[this.getPath().get(i)][this.getPath().get(i+1)];
}
return distance;
}其余不重要的接口略过。如下：
- path：保存该节点目前已经走过的城市序列。
- bound：记录该节点目前所能达到的最低distance。
- level：记录节点处于搜索树的第几层。
- computeLength：记录当前城市序列的distance。
可能大家还没理解节点是如何分支的，看一张图大家就懂了。我们知道TSP问题的一个solution是能用一个序列表示城市的先后访问顺序，比如现在有4座城市（1，2，3，4）：
图中每个节点的数字序列就是path保存的。大家都看到了吧，其实分支就是一个穷枚举的过程。
相对于穷举，分支定界算法的优越之处就在于其加入了定界过程，在分支的过程中就砍掉了某些不可能的支，减少了枚举的次数，大大提高了算法的效率。如下：
分支定界算法的主过程如下：
private static void solveTSP(double[][] distanceMatrix) {
int totalCities = distanceMatrix.length;
ArrayList<Integer> cities = new ArrayList<Integer>();
for (int i = 0; i < totalCities; i++) {
cities.add(i);
}
ArrayList<Integer> path;
double initB = initbound(totalCities, distanceMatrix);
Node v = new Node(new ArrayList<>(), 0, initB, 0);
queue.add(v);
queueCount++;
while (!queue.isEmpty()) {
v = queue.remove();
if (v.getBound() < shortestDistance) {
Node u = new Node();
u.setLevel(v.getLevel() + 1);
for (int i = 1; i < totalCities; i++) {
path = v.getPath();
if (!path.contains(i)) {
u.setPath(v.getPath());
path = u.getPath();
path.add(i);
u.setPath(path);
if (u.getLevel() == totalCities - 2) {
// put index of only vertex not in u.path at the end
// of u.path
for (int j = 1; j < cities.size(); j++) {
if (!u.getPath().contains(j)) {
ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<>();
temp = u.getPath();
temp.add(j);
u.setPath(temp);
}
}
path = u.getPath();
path.add(0);
u.setPath(path);
if (u.computeLength(distanceMatrix) < shortestDistance) {
shortestDistance = u.computeLength(distanceMatrix);// implement
shortestPath = u.getPath();
}
} else {
u.setBound(computeBound(u, distanceMatrix, cities));
//u.getBound()获得的是不完整的解，如果一个不完整的解bound都大于当前最优解，那么完整的解肯定会更大，那就没法玩了。
//所以这里只要u.getBound() < shortestDistance的分支
if (u.getBound() < shortestDistance) {
queue.add(u);
queueCount++;
}
else {
System.out.println("currentBest = "+shortestDistance+" cut bound >>> "+u.getBound());
}
}
}
}
}
}
}1. 首先initbound利用贪心的方式获得一个bound，作为初始解。
2. 而后利用优先队列遍历搜索树，进行branch and bound算法。对于队列里面的任意一个节点，只有(v.getBound() < shortestDistance)条件成立我们才有分支的必要。不然将该支砍掉。
3. 分支以后判断该支是否到达最底层，这样意味着我们获得了一个完整的解。那么此时就可以更新当前的最优解了。
4. 如果没有到达最底层，则对该支进行定界操作。如果该支的bound也比当前最优解还要大，那么也要砍掉的，就像林志炫的单身情歌里面唱的一样：每一个单身狗都得砍头。
然后讲讲定界过程，TSP问题是如何定界的呢？
private static double computeBound(Node u, double[][] distanceMatrix, ArrayList<Integer> cities) {
double bound = 0;
ArrayList<Integer> path = u.getPath();
for (int i = 0; i < path.size() - 1; i++) {
bound = bound + distanceMatrix[path.get(i)][path.get(i + 1)];
}
int last = path.get(path.size() - 1);
List<Integer> subPath1 = path.subList(1, path.size());
double min;
//回来的
for (int i = 0; i < cities.size(); i++) {
min = Integer.MAX_VALUE;
if (!path.contains(cities.get(i))) {
for (int j = 0; j < cities.size(); j++) {
if (i != j && !subPath1.contains(cities.get(j))) {
if (min > distanceMatrix[i][j]) {
min = distanceMatrix[i][j];
}
}
}
}
if (min != Integer.MAX_VALUE)
bound = bound + min;
}
//出去的
min = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 0; i < cities.size(); i++) {
if (/*cities.get(i) != last && */!path.contains(i) && min > distanceMatrix[last][i]) {
min = distanceMatrix[last][i];
}
}
bound = bound + min;
//System.out.println("bound = "+bound);
return bound;
}我们知道，每个节点保存的城市序列可能不是完整的解。bound的计算方式：bound = 当前节点path序列的路径距离 + 访问下一个城市的最短路径距离 + 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离。
比如城市节点5个｛1，2，3，4，5｝。当前path = ｛1，2｝，那么：
- 当前节点path序列的路径距离 = d12
- 访问下一个城市的最短路径距离 = min (d2i), i in {3,4,5}
- 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离=min (dij), i in {3,4,5} , j in {3,4,5,1}, i != j 。
注意这两个是可以不相等的。
运行说明
03
目前分支定界算法解不了大规模的TSP问题，10个节点以内吧差不多。input里面有算例，可以更改里面的DIMENSION值告诉算法需要读入几个节点。
更改算例在main函数下面，改名字就行，记得加上后缀。
感兴趣的同学可以该一下heap大小跑一跑，不过按照上述的分支思路，很容易爆掉的。小编出差在外没有好的电脑就不跑了。
END