LeetCode 算法 | 最长公共前缀?

LeetCode的上一个难度定义为简单的算法题。

题目描述:

编写一个函数来查找字符串数组中的最长公共前缀。

如果不存在公共前缀,返回空字符串 ""

示例 1:

输入: ["flower","flow","flight"]输出: "fl"

示例 2:

输入: ["dog","racecar","car"]输出: ""解释: 输入不存在公共前缀。

解题方法:

方法一:水平扫描法

思路

首先,我们将描述一种查找一组字符串的最长公共前缀 LCP(S_1 \ldots S_n)LCP(S1…Sn) 的简单方法。 我们将会用到这样的结论:

LCP(S_1 \ldots S_n) = LCP(LCP(LCP(S_1, S_2),S_3),\ldots S_n)LCP(S1…Sn)=LCP(LCP(LCP(S1,S2),S3),…Sn)

算法

为了运用这种思想,算法要依次遍历字符串 [S_1 \ldots S_n][S1…Sn],当遍历到第 ii 个字符串的时候,找到最长公共前缀 LCP(S_1 \ldots S_i)LCP(S1…Si)。当 LCP(S_1 \ldots S_i)LCP(S1…Si) 是一个空串的时候,算法就结束了。 否则,在执行了 nn 次遍历之后,算法就会返回最终答案 LCP(S_1 \ldots S_n)LCP(S1…Sn)。

图 1. 查找最长公共前缀 (水平扫描法)

public String longestCommonPrefix(String[] strs) {

if (strs.length == 0) return "";

String prefix = strs[0];

for (int i = 1; i < strs.length; i++)

while (strs[i].indexOf(prefix) != 0) {

prefix = prefix.substring(0, prefix.length() - 1);

if (prefix.isEmpty()) return "";

}

return prefix;

}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(S)O(S),S 是所有字符串中字符数量的总和。 最坏的情况下, nn 个字符串都是相同的。 算法会将 S1S1 与其他字符串 [S_2 \ldots S_n][S2…Sn] 都做一次比较。这样就会进行 SS 次字符比较,其中 SS 是输入数据中所有字符数量。
  • 空间复杂度:O(1)O(1), 我们只需要使用常数级别的额外空间。

算法二:水平扫描

算法

想象数组的末尾有一个非常短的字符串, 使用上述方法依旧会进行 SS 次比较。 优化这类情况的一种方法就是水平扫描。 我们从前往后枚举字符串的每一列,先比较每个字符串相同列上的字符(即不同字符串相同下标的字符)然后再进行对下一列的比较。

public String longestCommonPrefix(String[] strs) {

if (strs == null || strs.length == 0) return "";

for (int i = 0; i < strs[0].length() ; i++){

char c = strs[0].charAt(i);

for (int j = 1; j < strs.length; j ++) {

if (i == strs[j].length() || strs[j].charAt(i) != c)

return strs[0].substring(0, i);

}

}

return strs[0];

}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(S)O(S),S 是所有字符串中字符数量的总和。 最坏情况下,输入数据为 nn 个长度为 mm 的相同字符串,算法会进行 S = m*nS=mn 次比较。可以看到最坏情况下,本算法的效率与算法一相同,但是最好的情况下,算法只需要进行 n*minLennminLen 次比较,其中 minLenminLen 是数组中最短字符串的长度。
  • 空间复杂度:O(1)O(1), 我们只需要使用常数级别的额外空间。

算法三:分治

思路

这个算法的思路来自于LCP操作的结合律。 我们可以发现: LCP(S_1 \ldots S_n) = LCP(LCP(S_1 \ldots S_k), LCP (S_{k+1} \ldots S_n))LCP(S1…Sn)=LCP(LCP(S1…Sk),LCP(Sk+1…Sn)) ,其中 LCP(S_1 \ldots S_n)LCP(S1…Sn) 是字符串 [S_1 \ldots S_n][S1…Sn] 的最长公共前缀,1 < k < n1<k<n

算法

为了应用上述的结论,我们使用分治的技巧,将原问题 LCP(S_i\cdots S_j)LCP(SiSj) 分成两个子问题 LCP(S_i\cdots S_{mid})LCP(SiSmid) 与 LCP(S_{mid+1}, S_j)LCP(Smid+1,Sj) ,其中 mid=\frac{i+j}{2}2i+j。 我们用子问题的解 lcpLeftlcpRight 构造原问题的解 LCP(S_i \cdots S_j)LCP(SiSj)。 从头到尾挨个比较 lcpLeftlcpRight 中的字符,直到不能再匹配为止。 计算所得的 lcpLeftlcpRight 最长公共前缀就是原问题的解 LCP(S_i\cdots S_j)LCP(SiSj)。

图 2. 查找最长公共前缀的分治方法

public String longestCommonPrefix(String[] strs) {

if (strs == null || strs.length == 0) return "";

return longestCommonPrefix(strs, 0 , strs.length - 1);

}

private String longestCommonPrefix(String[] strs, int l, int r) {

if (l == r) {

return strs[l];

}

else {

int mid = (l + r)/2;

String lcpLeft = longestCommonPrefix(strs, l , mid);

String lcpRight = longestCommonPrefix(strs, mid + 1,r);

return commonPrefix(lcpLeft, lcpRight);

}

}

String commonPrefix(String left,String right) {

int min = Math.min(left.length(), right.length());

for (int i = 0; i < min; i++) {

if ( left.charAt(i) != right.charAt(i) )

return left.substring(0, i);

}

return left.substring(0, min);

}

复杂度分析

最坏情况下,我们有 nn 个长度为 mm 的相同字符串。

  • 时间复杂度:O(S)O(S),SS 是所有字符串中字符数量的总和,S=m*nS=mn。 时间复杂度的递推式为 T(n)=2\cdot T(\frac{n}{2})+O(m)T(n)=2⋅T(2n)+O(m), 化简后可知其就是 O(S)O(S)。最好情况下,算法会进行 minLen\cdot nminLenn 次比较,其中 minLenminLen 是数组中最短字符串的长度。
  • 空间复杂度:O(m \cdot log(n))O(mlog(n)) 内存开支主要是递归过程中使用的栈空间所消耗的。 一共会进行 log(n)log(n) 次递归,每次需要 mm 的空间存储返回结果,所以空间复杂度为 O(m\cdot log(n))O(mlog(n))。

方法四:二分查找法

这个想法是应用二分查找法找到所有字符串的公共前缀的最大长度 L。 算法的查找区间是 (0 \ldots minLen)(0…minLen),其中 minLen 是输入数据中最短的字符串的长度,同时也是答案的最长可能长度。 每一次将查找区间一分为二,然后丢弃一定不包含最终答案的那一个。算法进行的过程中一共会出现两种可能情况:

  • S[1...mid] 不是所有串的公共前缀。 这表明对于所有的 j > i S[1..j] 也不是公共前缀,于是我们就可以丢弃后半个查找区间。
  • S[1...mid] 是所有串的公共前缀。 这表示对于所有的 i < j S[1..i] 都是可行的公共前缀,因为我们要找最长的公共前缀,所以我们可以把前半个查找区间丢弃。

图 3. 使用二分查找法寻找最长公共前缀

public String longestCommonPrefix(String[] strs) {

if (strs == null || strs.length == 0)

return "";

int minLen = Integer.MAX_VALUE;

for (String str : strs)

minLen = Math.min(minLen, str.length());

int low = 1;

int high = minLen;

while (low <= high) {

int middle = (low + high) / 2;

if (isCommonPrefix(strs, middle))

low = middle + 1;

else

high = middle - 1;

}

return strs[0].substring(0, (low + high) / 2);

}

private boolean isCommonPrefix(String[] strs, int len){

String str1 = strs[0].substring(0,len);

for (int i = 1; i < strs.length; i++)

if (!strs[i].startsWith(str1))

return false;

return true;

}

复杂度分析

最坏情况下,我们有 nn 个长度为 mm 的相同字符串。

  • 时间复杂度:O(S \cdot log(n))O(Slog(n)),其中 SS 所有字符串中字符数量的总和。 算法一共会进行 log(n)log(n) 次迭代,每次一都会进行 S = m*nS=mn 次比较,所以总时间复杂度为 O(S \cdot log(n))O(Slog(n))。
  • 空间复杂度:O(1)O(1),我们只需要使用常数级别的额外空间。

更进一步

让我们看一个有些不同的问题:

给定一些键值字符串 S = [S_1,S_2 \ldots S_n][S1,S2…Sn],我们要找到字符串 q 与 S 的最长公共前缀。 这样的查询操作可能会非常频繁。

我们可以通过将所有的键值 S 存储到一颗字典树中来优化最长公共前缀查询操作。 如果你想获得更多关于字典树的信息,可以查看这篇文章 Implement a trie (Prefix trie) 。在字典树中,从根向下的每一个节点都代表一些键值的公共前缀。 但是我们需要找到字符串q 和所有键值字符串的最长公共前缀。 这意味着我们需要从根找到一条最深的路径,满足以下条件:

  • 这是所查询的字符串 q 的一个前缀
  • 路径上的每一个节点都有且仅有一个孩子。 否则,找到的路径就不是所有字符串的公共前缀
  • 路径不包含被标记成某一个键值字符串结尾的节点。 因为最长公共前缀不可能比某个字符串本身长

算法

最后的问题就是如何找到字典树中满足上述所有要求的最深节点。 最有效的方法就是建立一颗包含字符串 [S_1 \ldots S_n][S1…Sn] 的字典树。 然后在这颗树中匹配 q 的前缀。 我们从根节点遍历这颗字典树,直到因为不能满足某个条件而不能再遍历为止。

图 4. 使用字典树查找最长公共前缀

public String longestCommonPrefix(String q, String[] strs) {

if (strs == null || strs.length == 0)

return "";

if (strs.length == 1)

return strs[0];

Trie trie = new Trie();

for (int i = 1; i < strs.length ; i++) {

trie.insert(strs[i]);

}

return trie.searchLongestPrefix(q);

}

class TrieNode {

// 子节点的链接数组

private TrieNode[] links;

private final int R = 26;

private boolean isEnd;

// 非空子节点的数量

private int size;

public void put(char ch, TrieNode node) {

links[ch -'a'] = node;

size++;

}

public int getLinks() {

return size;

}

// 假设方法 containsKey、isEnd、get、put 都已经实现了

// 可以参考文章:https://leetcode.com/articles/implement-trie-prefix-tree/

}

public class Trie {

private TrieNode root;

public Trie() {

root = new TrieNode();

}

// 假设方法 insert、search、searchPrefix 都已经实现了

// 可以参考文章:https://leetcode.com/articles/implement-trie-prefix-tree/

private String searchLongestPrefix(String word) {

TrieNode node = root;

StringBuilder prefix = new StringBuilder();

for (int i = 0; i < word.length(); i++) {

char curLetter = word.charAt(i);

if (node.containsKey(curLetter) && (node.getLinks() == 1) && (!node.isEnd())) {

prefix.append(curLetter);

node = node.get(curLetter);

}

else

return prefix.toString();

}

return prefix.toString();

}

}

复杂度分析

最坏情况下查询字符串 qq 的长度为 mm 并且它与数组中 nn 个字符串均相同。

  • 时间复杂度:预处理过程 O(S)O(S),其中 SS 数组里所有字符串中字符数量的总和,最长公共前缀查询操作的复杂度为 O(m)O(m)。 建立字典树的时间复杂度为 O(S)O(S)。 在字典树中查找字符串 qq 的最长公共前缀在最坏情况下需要 O(m)O(m) 的时间。
  • 空间复杂度:O(S)O(S), 我们只需要使用额外的 SS 空间建立字典树。

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原文发布于微信公众号 - 技术从心(gh_d845efe513db)

原文发表时间:2019-02-16

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