机器学习降维之奇异值分解(SVD)

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义，如下所示。其中A是一个n×n的矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。但是求出特征值和特征向量有什么好处呢?

上面矩阵能够进行特征分解，需要满足矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以进行矩阵分解吗？

2. 奇异值分解(SVD)

当矩阵A不是方阵时，可以用奇异值进行分解，假设我们的的矩阵A时一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为

其中U时一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V时一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足

下图可以形象的表示出上述SVD的定义，但我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?

U和V都已经求出，现在只有奇异值矩阵Σ没有求出。由于Σ除了对角线上是奇异值，其他位置都是0，因此我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。我们注意到

通过上式，我们便可以求出每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

3. SVD示例

下面我们通过一个简单例子来说明矩阵式如何进行奇异值分解的，假设矩阵A为

4. SVD性质

对于SVD有哪些重要的性质值得我们注意呢? 对于奇异值，它跟特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们可以用最大的k个奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，即

由于这个重要的性质，因此SVD可以用于PCA降维，用来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP之中的算法，比如潜在语义索引(LSI)。

5. SVD在PCA之中的应用

在机器学习降维之主成分分析(PCA)之中，我们讲到PCA降维时，需要找到样本协方差矩阵X^TX最大的d个特征向量，然后用着最大的d个特征向量组成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵X^TX，当样本数多、样本特征数也多的时候，比如10000*10000的矩阵，这个计算量是很大的。

注意到SVD也可以求出协方差矩阵X^TX最大的d个特征向量组成的矩阵，但是SVD有个好处，就是可以不求出协方差矩阵X^TX，也能通过某些算法求出右奇异矩阵V，比如https://arxiv.org/abs/0909.4061。也就是说，PCA算法可以不用做特征分解，而是用SVD来进行完成。

另一方面，PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？假如我们的样本是m×n的矩阵X，如果通过SVD找到矩阵XX^T最大的d个特征向量组成的m×d的矩阵U，则我们进行如下处理

可以得到一个d×n的矩阵X'，这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩，右奇异矩阵可以用于列数压缩，即特征降维。

6. SVD算法总结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，不过这不影响它的使用。

参考

刘建平Pinard-奇异值分解(SVD)原理转载降维中的应用

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