机器学习降维之线性判别模型(LDA)
线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)是一种监督学习的降维方法，也就是说数据集的每个样本是有类别输出。和之前介绍的机器学习降维之主成分分析(PCA)方法不同，PCA是不考虑样本类别输出的无监督学习方法。LDA的原理简单来说就是将带上标签的数据（点），通过投影的方法，投影到维度更低的空间中，使得投影后的点会形成按类别区分。而我们的目标就是使得投影后的数据，类间方差最大，类内方差最小。
以下图为例，假设有两类数据，分别为红色和蓝色。现在我们希望，将这些数据投影到一维的直线上，让每一种类别数据的投影点尽可能的接近，而红色和蓝色数据中心之间的距离尽可能的大。
从上图的两种投影方式能够看出，右图能够更好的满足我们的目标，即类间方差最大，类内方差最小。下面我们来看看LDA内部原理，如何达到我们所希望的目标。
2.瑞利商和广义瑞利商
介绍LDA原理之前，我们先了解一些数学知识，即瑞利商(Rayleigh quotient)与广义瑞利商(genralized Rayleigh quotient)。首先来看看瑞利商的函数R(A,x)
瑞利商R(A,x)有一个非常重要的性质，即它的最大值等于矩阵A的最大特征值，而最小值等于矩阵A的最小特征值，即满足
以上就是瑞利商的内容，现在看看广义瑞利商内容，广义瑞利商函数R(A,B,x)
其中x为非零向量，而A,B为n*n的Hermitan矩阵，B是正定矩阵。那么R(A,B,x)的最大值和最小值是什么呢？
3.二类LDA原理
4.多类LDA原理
5.LDA算法流程
6.LDA vs PCA
LDA和PCA有很多相同点和不同点，我们来对比看看两者的区别。
相同点
- 两者均可对数据进行降维。
- 两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。
- 两者都假设数据符合高斯分布。
不同点
- LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法。
- LDA降维最多降到类别数k-1的维数，而PCA无此限制。
- LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。
不同数据情况下，LDA和PCA降维方法各有优劣。例如某些数据情况下LDA比PCA方法更好
某些数据情况下PCA比LDA方法降维更好
7.LDA算法总结
LDA优点
- 在降维过程中可以使用类别的先验知识经验，而PCA这种无监督学习则无法使用类别先验知识。
LDA缺点
- LDA可能过度拟合数据。
- LDA不适合对非高斯分布样本进行降维，PCA也有这个问题。
- LDA降维最多降到类别数k-1的维数，如果我们降维的维数大于k-1，则不能使用LDA。
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