Python-100 练习题 03 完全平方数

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练习题 3 的网址：

http://www.runoob.com/python/python-exercise-example3.html

Example-3 完全平方数

题目：一个整数，它加上100后是一个完全平方数，再加上168又是一个完全平方数，请问该数是多少？

思路

首先我们可以假设这个整数是x，那么根据题目有：

x+100 = m**2 (1)
x+100+168 = n**2 (2)

m, n都是正整数，接着就是先根据求解一元二次方程组的做法，可以得到 n**2 - n**2 = 168 (3)

利用平方差分解上式，有(n-m)(n+m)=168，这个时候，我们再做一个变换：

m + n = i (4)
n - m = j (5)
i * j = 168 (6)

这个变换，其实只是再设置两个变量i,j，并且根据它们两者相乘是 168，这是一个偶数，由于两个数相乘是偶数，有两种情况，两者都是偶数，或者一个偶数和一个奇数，然后再求解(4)和(5)，有：

n = (i + j) / 2 (7)
m = (i - j) / 2 (8)

根据(7)式子，i+j必须是偶数，这样才可以被 2 整除，得到正整数n，这种情况下，结合(4)和(5)，可以推导得到i,j都是大于等于 2 的偶数，又根据(6)，可以推导到i,j的范围是：

1 < j < i < 85

这里是假设了i > j的情况，因为不存在一个偶数的平方就是168，所以假设i>j。

代码实现

第一种实现：

def perfect_square():
    for i in range(1, 85):
        if 168 % i == 0:
            j = 168 / i;
            if i > j and (i + j) % 2 == 0 and (i - j) % 2 == 0:
                m = (i + j) / 2
                n = (i - j) / 2
                x = n * n - 100
                print(x)

第二种实现是网上大神的解法，参考文章：

• https://www.cnblogs.com/iderek/p/5954778.html
• http://www.cnblogs.com/CheeseZH/archive/2012/11/05/2755107.html

这种实现其实就是在分析过程中，只推导到m,n部分，即(3)式的部分，然后直接根据这个公式和范围来求解，这个时候m,n的范围就是(1,169)。

这是一个应用列表推导式的解法：

def perfect_square2():
    '''
    列表推导式
    :return:
    '''
    [print(m**2-100, end=',') for m in range(1, 169) for n in range(1, 169) if (n**2 - m**2) == 168]

def perfect_square2_loop():
    '''
    for 循环形式
    :return:
    '''
    for m in range(1, 169):
        for n in range(1, 169):
            if (n ** 2 - m ** 2) == 168:
                print(m ** 2 - 100, end=',')

输出结果都是：

-99,21,261,1581,

源代码在：

https://github.com/ccc013/CodesNotes/blob/master/Python_100_examples/example3.py

或者点击原文，也可以查看源代码。