贝叶斯公式详解

假如今天小编过生日，我有三个朋友分别来给我送礼物，假设他们送的礼物都是糖，在他们送的礼物中有的糖是软的有的是硬的，由于笔者牙不太好喜欢出软的糖，所以就大致查看了一下朋友送的糖，然后发现朋友1送的有10颗糖，这10颗糖中有一颗硬的，朋友2送的有20颗糖，其中有3颗是硬的，朋友3送的有15颗糖其中有2颗是硬的，然后我有个嘴馋的弟弟想吃这些糖，那么我他这三个朋友送的糖中任意选出一颗是好的概率是多少呢？

首先我先假设Ai为第i个朋友送的糖，i的取值范围是1,2,3。然后再用一个事件B来标记我拿到软糖的事件，因此我拿到软糖的概率为P(B)。那么这个P(B)等于多少呢？这个事件发生肯定在样本空间A1,A2,A3中产生，所以计算公式就是：

P(B) = P(A1)*P(B | A1) + P(A2) *P(B | A2) + P(A3)*P(B | A3)
                    = (1/3) * 9/10 + (1/3) * 17/20 + (1/3) * 13/15 
                    =  0.872

上面P(B | A1) 是条件概率：糖来自于第一个朋友的条件下，并且它为软糖的概率。

那么这里有一个问题，当我知道我弟弟拿到了软糖只有想知道是哪个朋友送的怎么办呢（总有刁民想害朕）？

求P(A1 | B)称为求解逆向概率，这个概率往往是不好求解答，但是它对应的正向概率：P(B | A1)，往往求解简单。

因此，自然地，既然 P(A1|B)比较难求解，我们如下转化一下：

P(A1| B) =  P(A1*B) / P(B) 

其中，A1*B 事件表示从第一个箱子抽取且为软糖，则

P(A1*B) = P(A1) * P(B | A1) = (1/3) * 9/10 =  0.3 

P(A1*B)，也可以记为：P(A1,B)，它称为联合概率。 

因此，P(A1| B) =  0.3  / 0.872 = 0.344 

这个已知B发生，然后，预测B来自于哪个朋友，便是贝叶斯公式做的事情。

那么这个例子如何上升进而提取出一个模型出来呢？

贝叶斯公式：

首先在上面的例子中，三个朋友送的糖为三个样本空间，A1,A2,A3。如果假设朋友比较多，无限趋近于n的时候，当弟弟拿到软糖之后想知道是哪一个朋友送的计算模型又是什么呢？公式如下：

贝叶斯概率公式

其中P(Ai)叫做先验概率，在拿糖的过程中不管我们不知道会拿到什么糖，但是从哪个朋友那里拿到的概率还是知道的，都为1/3。

P(Ai|B)是原因的后验概率，在知道拿到为软糖之后，他是来自哪个朋友的概率。

对于前面的贝叶斯公式这里有一个简单的理解：

首先分母带表的意思是拿到的为软糖的概率，它是从几个朋友送的唐中分别取出糖取到软糖的概率，分子是已知取得是朋友i的糖并且是软糖的按概率，也就示说如果你想拿到软糖之后想知道是哪个朋友送的你首先要知道你取到软糖的概率，然后再求出你从某个朋友送的糖中拿到好糖的概率，这两个概率的比值就是你在拿到软糖的情况下来自哪个朋友的概率。

更直白一点的理解就是，拿到软糖的概率等于你分别从几个朋友那里分别拿糖拿到软糖的概率之和，而你想求从哪个朋友那里拿到的，就是求从某个朋友那里拿到软糖的概率和拿到软糖的概率的比值，这个公式本身就是概率和概率的比值，并且分母的概率等于分子之和，分子在分母中的比重就代表了在拿到软糖的情况下属于哪一个朋友的概率！