Cholesky分解

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法, 在线性代数中有重要的应用。Cholesky分解把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那实数界来类比的话，此分解就好像求平方根）。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高。Cholesky是生于19世纪末的法国数学家，曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。后来，Cholesky参加了法国军队，不久在一战初始阵亡。

一、Cholesky分解的条件

1、Hermitianmatrix：矩阵中的元素共轭对称（复数域的定义，类比于实数对称矩阵）。Hermitiank意味着对于任意向量x和y，(x*)Ay共轭相等

2、Positive-definite：正定（矩阵域，类比于正实数的一种定义）。正定矩阵A意味着，对于任何向量x，(x^T)Ax总是大于零(复数域是(x*)Ax>0)

二、Cholesky分解的形式

可记作A = L L*。其中L是下三角矩阵。L*是L的共轭转置矩阵。

可以证明，只要A满足以上两个条件，L是唯一确定的，而且L的对角元素肯定是正数。反过来也对，即存在L把A分解的话，A满足以上两个条件。

如果A是半正定的（semi-definite），也可以分解，不过这时候L就不唯一了。

特别的，如果A是实数对称矩阵，那么L的元素肯定也是实数。

另外，满足以上两个条件意味着A矩阵的特征值都为正实数，因为Ax = lamda * x,

(x*)Ax = lamda * (x*)x > 0, lamda > 0