线性代数的本质课程笔记(中)-点积和叉积

1、点积

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点积的标准观点

如果我们有两个维数相同的向量，他们的点积就是对应位置的数相乘，然后再相加：

从投影的角度看，要求两个向量v和w的点积，可以将向量w朝着过原点的向量v所在的直线进行投影，然后将w投影后的长度乘上向量v的长度（注意两个向量的的夹角）。

当两个向量的夹角小于90度时，点积后结果为正，如果两个向量垂直，点积结果为0，如果两个向量夹角大于90度，点积结果为负。

一个有趣的发现是，你把w投影到v上面，或者把v投影到w上面，结果是相同的。

但是你不觉得上面两个过程是完全不同的嘛？接下来就直观解释一下。

假设我们有两个长度完全相同的向量v和w，利用其对称性，无论将v投影到w上还是将w投影到v上，结果都是一样的：

如果我们把其中一个向量变为2倍，这种对称性被破坏了。假设我们把w投影到v上，此时投影的长度没变，但v的长度变为两倍，因此是原来结果的两倍。同样如果把v投影到w上，投影长度变为2倍，但w长度没变，所以结果也是原结果的两倍。所以对于两个向量的点积来说，无论选择哪个向量进行投影，结果都是一样的。

问题又来了，投影的思路和对位相乘再相加的思路，有什么联系呢？联想之前所学的线性变换过程，假设u是二维空间变换到一维空间后的基向量：

在第三讲中我们已经知道，一个2*2的矩阵，[[a,c],[b,d]]其实代表了一种线性变换，它把原来的[1,0]变换到[a,b]的位置，把原先空间中的[0,1]变换到[c,d]的位置。那么想要知道什么样的线性变换可以将二维空间中的基向量i和j变换到一维空间中的基向量u，只需要知道i和j变换后的位置即可。i和j变换后的位置，相当于对u所在的直线进行投影，利用对称性，可以得到相应的结果，如下图：

所以二维空间中的任意一个向量，通过上面的线性变换可以得到的一维向量。这个过程相当于对二维向量进行了投影。而根据矩阵乘法的计算方法，便可以将投影的计算方法和对位相乘再相加的方法联系起来。

上面的思路总结起来，就是无论何时你看到一个二维到一维的线性变换，那么应用这个线性变换和与这个向量点乘在计算上等价：

上面是数学中“对偶性”的一个有趣实例。

8、叉积

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首先来看叉积的标准介绍。叉积是通过两个三维向量生成一个新的向量，新的向量满足下面三个条件： 1）垂直于这两个向量所张成的平面 2）其长度等于这两个向量所形成的四边形的面积 3）其方向满足右手定则

右手定则如下：

接下来看看叉积的具体计算，求行列式得到的是叉积后向量的长度，叉积得到的向量的坐标是下图中的三个“某些数”。

接下来，深入理解叉积的含义，我们通过线性变换的眼光来看叉积。我们首先定义一个三维到一维的线性变换：

先回顾一下行列式的定义，三维空间中，3 * 3矩阵的行列式是三个向量所形成的平行六面体的有向体积（绝对值是体积，但需要根据方向判定其正负号），但这并非真正的叉积，但很接近：

假设我们把第一个向量变为变量，输入一个向量(x,y,z)，通过矩阵的行列式得到一个数，这个数就代表我们输入的向量与v和w所组成的平行六面体的有向体积：

为什么要这么定义呢？首先要指出的是，上面的函数是线性的。所以我们就可以将上面的行列式过程表示成一个变换过程：

同时，当线性变换是从多维到一维时，线性变换过程又可以表示为点积的形式：

即p的结果是：

所以，问题其实变换为了，找到一个向量p，使得p和某个向量(x,y,z)求点积的结果，等于对应的三维方阵行列式的值（即(x,y,z)和向量u、v所组成的平行六面体的有向体积）。

左边是一个点积，相当于把(x,y,z)向p上投影，然后投影长度和p的长度相乘：

而右边平行六面体的体积，可以拆解为底面积 * 高。底面积可以认为是v和w所组成的平行四边形的面积，高的话是(x,y,z)在垂直于v和w所张成的平面的方向上的分量的长度。

那么：

点积 = (x,y,z)在p上投影的长度 * p的长度

体积 = v和w所组成的平行四边形的面积 * (x,y,z)在垂直于v和w所张成的平面的方向上的分量的长度

根据二者相等，可以认为p的长度是v和w所组成的平行四边形的面积、p的方向垂直于v和w所张成的平面。这样我们的p就找到了，而p就是我们要找的叉积的结果，是不是很奇妙！

详细的过程还是推荐大家看一下视频，讲的真的非常好！