时间复杂度和空间复杂度

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时间复杂度

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时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，基座T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进算法时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

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推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

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推导示例

01 常数阶

顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，是利用高斯定理计算1，2，……n个数的和

int sum = 0, n = 100;       /*执行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2;      /*执行一次*/
System.out.println(sum);    /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n) =3。 根据我们推导大0阶的方法，第一步就是把常数项3 改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为0(1)。

另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句，则与示例给出的代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n 的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。

02 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;
for(i = 0; i < n; i++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}  

03 对数阶

如下代码：

int count = 1;
while (count < n){
    count = count * 2;
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。 也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。 由2^x=n 得到x=logn。 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

04 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = 0; j < n; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。 所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。 如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mXn)。 所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
    for(j = i; j < n; j++){   
    /*注意j = i而不是0*/
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }
}

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:

n + (n-1) + (n-2) +...+ 1 = n(n+1)/2 = n^2/n+n/2

用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留时(n^2)/2; 第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大0推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。

05 立方阶

下面例子是一个三重循环嵌套。

public void tst() {
    int i, j;
    for (i = 1; i < n; i++)
        for (j = 1; j < n; j++)
            for (j = 1; j < n; j++) {
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤*/
            }
        }
    }
}

这里循环了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O阶推导方法，时间复杂度为O(n^3)。

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常见的时间复杂度总结

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最坏情况与平均情况

我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。 在应用中，这是一种最重要的需求， 通常， 除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

而平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。

现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

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空间复杂度

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定义

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。

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空间复杂度介绍

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。 还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。

一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。

　　(1) 固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。

　　(2) 可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。

　　一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n))　其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元，若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为0(1)。

通常， 我们都使用"时间复杂度"来指运行时间的需求，使用"空间复杂度"指空间需求。当不用限定词地使用"复杂度'时，通常都是指时间复杂度。

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空间复杂度常见计算规则

01 加法规则

T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})

02 乘法规则

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})

03 一个经验

复杂度与时间效率的关系：

c(常数)<logn<n<n*logn<n^2<n^3<2^n<3^n<n!

l---------------------l-----------------l---------------l 一般 较差 较好