机器学习与深度学习中的数学知识点汇总

在机器学习与深度学习中需要大量使用数学知识，这是给很多初学带来困难的主要原因之一。此前SIGAI的公众号已经写过“学好机器学习需要哪些数学知识”的文章，由于时间仓促，还不够完整。今天重新整理了机器学习与深度学习中的主要知识点，做到精准覆盖，内容最小化，以减轻学习的负担同时又保证学习的效果。这些知识点是笔者长期摸索总结出来的，相信弄懂了这些数学知识，数学将不再成为你学好机器学习和深度学习的障碍。

本文可以配合《机器学习-原理，算法与应用》，清华大学出版社，雷明著一书阅读。在这本书中对有监督学习，聚类，降维，半监督学习，强化学习的主要算法进行了细致、深入浅出的推导和证明。对于所需的数学知识，单独用一章做了简洁地介绍。

本文列出的数学知识点已经写成了《机器学习的数学教程》，以后有机会的话可能会出版，以帮助大家学习。

所需的数学知识

在之前的公众号文章中已经说过，机器学习和深度学习中所用的数学知识主要来自以下几门课：

1.高等数学/微积分

2.线性代数与矩阵论

3.概率论与信息论

4.最优化方法

5.图论/离散数学

除此之外，有些理论和方法可能会用到更深的数学知识，如实变函数，泛函分析，微分几何，偏微分方程等，但对一般的方法和理论，这些知识不是必须的，因此我们可以忽略它们。对大多数人来说，没必要为了那些不常见的方法和理论而去学这些复杂的数学知识，这会大幅度的增加学习的成本与难度。

前面所列的5门数学知识中，矩阵论，信息论，最优化方法是国内理工科本科生基本上没有学过的。图论除了计算机类的专业之外，一般也不会学。如果想全面而系统的学好机器学习与深度学习，补上这些数学知识是必须的。

微积分

微积分是现代数学的基础，线性代数，矩阵论，概率论，信息论，最优化方法等数学课程都需要用到微积分的知识。单就机器学习和深度学习来说，更多用到的是微分。积分基本上只在概率论中被使用，概率密度函数，分布函数等概念和计算都要借助于积分来定义或计算。

几乎所有的机器学习算法在训练或者预测时都是求解最优化问题，因此需要依赖于微积分来求解函数的极值，而模型中某些函数的选取，也有数学性质上的考量。对于机器学习而言，微积分的主要作用是：

1.求解函数的极值

2.分析函数的性质

下面列出机器学习和深度学习中所需的微积分知识点，显然，不是课本里所讲的所有内容都是需要的，我们只列出所必须的。

极限。极限是高等数学和初等数学的分水岭，也是微积分这座大厦的基石，是导数、微分、积分等概念的基础。虽然在机器学习里不直接用到极限的知识，但要理解导数和积分，它是必须的。

上确界与下确界。这一对概念对工科的微积分来说是陌生的，但在机器学习中会经常用到，不要看到论文或书里的sup和inf不知道什么意思。

导数。其重要性众所周知，求函数的极值需要它，分析函数的性质需要它。典型的如梯度下降法的推导，logistic函数导数的计算。熟练地计算函数的导数是基本功。

Lipschitz连续性。这一概念在工科教材中同样没有提及，但对分析算法的性质却很有用，在GAN，深度学习算法的稳定性、泛化性能分析中都有用武之地。

导数与函数的单调性。某些算法的推导，如神经网络的激活函数，AdaBoost算法，都需要研究函数的单调性。

导数与函数的极值。这个在机器学习中处于中心地位，大部分优化问题都是连续优化问题，因此可以通过求导数为0的点而求函数的极值，以实现最小化损失函数，最大化似然函数等目标。

导数与函数的凹凸性。在凸优化，Jensen不等式的证明中都有它的应用。

泰勒公式。又一个核心知识点。在优化算法中广泛使用，从梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法，到AdaBoost算法，梯度提升算法，XGBoost的推导都离不开它。

不定积分。积分在机器学习中使用的相对较少，主要用于概率的计算中，它是定积分的基础。

定积分。包括广义积分，被用于概率论的计算中。机器学习中很大一类算法是概率型算法，如贝叶斯分类器，概率图模型，变分推断等。这些地方都涉及到对概率密度函数进行积分。

变上限积分。分布函数是典型的变上线积分函数，同样主要用于概率计算中。

牛顿-莱布尼兹公式。在机器学习中很少直接使用，但它是微积分中最重要的公式之一，为定积分的计算提供了依据。

常微分方程。在某些论文中会使用，但一般算法用不到。

偏导数。重要性不用多说，机器学习里绝大部分函数都是多元函数，要求其极值，偏导数是绕不开的。

梯度。决定了多元函数的单调性和极值，梯度下降法的推导离不开它。几乎所有连续优化算法都需要计算函数的梯度值，且以寻找梯度为0的点作为目标。

高阶偏导数。确定函数的极值离不开它，光有梯度值还无法确定函数的极值。

链式法则。同样使用广泛，各种神经网络的反向传播算法都依赖于链式法则。

Hessian矩阵。决定了函数的极值和凹凸性，对使用工科教材的同学可能是陌生的。

多元函数的极值判别法则。虽然不直接使用，但对理解最优化方法至关重要。

多元函数的凹凸性判别法则。证明一个问题是凸优化问题是离不开它的。

Jacobian矩阵。工科教材一般没有介绍这一概念，但和Hessian矩阵一样，并不难理解，使用它可以简化多元复合函数的求导公式，在反向传播算法中广泛使用。

向量与矩阵求导。常见的一次函数，二次函数的梯度，Hessian矩阵的计算公式要烂熟于心，推导并不复杂。

泰勒公式。理解梯度下降法，牛顿法的优化算法的基石。

多重积分。主要用于概率论中，计算随机向量的积分，如正态分布。

偏微分方程。在某些理论推导中可能会使用，如变分法中的欧拉-拉格朗日方程。

参考书目：

微积分用经典的同济7版就可以了，这是国内很多高校工科专业的微积分教材。如果想深入学习，可以看数学分析的教材，这是数学系的微积分。北大张筑生先生所著的数学分析可谓是国内这方面教材的精品。

线性代数与矩阵论

相对于微积分，线性代数似乎用的更多，而且有一部分属于矩阵论/矩阵分析的范畴，超出了工科线性代数教材的范围。下面列出线性代数和矩阵论的常用知识点。

向量及其运算。机器学习算法的输入很多时候是向量，如样本的特征向量。因此熟练掌握向量以及常用的运算是理解机器学习的基础。

矩阵及其运算。与向量一样，是线性代数的核心概念，各种运算，常用矩阵，必须烂熟于心。

行列式。直接使用的少，在概率论，某些模型的推导中偶尔使用。

线性方程组。直接使用的少，但这是线性代数的核心内容。

特征值与特征向量。在机器学习中被广泛使用，很多问题最后归结于求解矩阵的特征值和特征向量。如流形学习，谱聚类，线性判别分析，主成分分析等。

广义特征值。工科线性代数教材一般不提及此概念，但在流形学习，谱聚类等算法中经常用到它。

Rayleigh商。工科教材一般不提及它。在某些算法的推导过程中会用到，如线性判别分析。

矩阵的谱范数与条件数。工科教材一般不提及它。在某些算法的分析中会用到它，它刻画了矩阵的重要性质。

二次型。很多目标函数是二次函数，因此二次型的地位不言而喻。

Cholesky分解。某些算法的推导中会用到它，工科教材一般不提及它。

特征值分解。对机器学习非常重要，很多问题最后归结于特征值分解，如主成分分析，线性判别分析等。

奇异值分解。在机器学习中广泛使用，从正态贝叶斯分类器，到主题模型等，都有它的影子。

参考书目：

线性代数可以看矩阵分析，如果想更全面系统的学习，可以看斯蒂文的这本线性代数。

概率论与信息论

概率论与信息论在机器学习中用得非常多。概率论的知识，一般不超出工科教材的范畴。而信息论是很多同学没有学过的，不过只要你理解了微积分和概率论，理解这些概念并不是难事。下面列出常用的概率论与信息论知识点。

随机事件与概率。这是理解随机变量的基础，也是概率论中最基本的知识。

条件概率与独立性。条件概率非常重要，在机器学习中，只要有概率模型的地方，通常离不开它。独立性在很多地方也被使用，如概率论图模型。

条件独立。在概率论图模型中广泛使用，一定要理解它。

全概率公式。基础公式，地位不用多说。

贝叶斯公式。在机器学习的概率型算法中处于灵魂地位，几乎所有生成模型都要用到它。

离散型随机变量与连续型随机变量。重要性不用多说，概率质量函数，概率密度函数，分布函数，一定要熟练掌握。

数学期望。非常重要，好多地方都有它的影子。

方差与标准差。非常重要，刻画概率分布的重要指标。

Jensen不等式。在很多推导和证明中都要用它，如EM算法，变分推断。

常用的概率分布，包括均匀分布，正态分布，伯努利分布，二项分布，多项分布，t分布等，在各种机器学习算法中广泛使用。

随机向量。多元的随机变量，在实际中更有用。

协方差。经常使用的一个概念，如主成分分析，多元正态分布中。

参数估计。包括最大似然估计，最大后验概率估计，贝叶斯估计，核密度估计，一定要弄清楚它们是怎么回事。

随机算法，包括采样算法，遗传算法，蒙特卡洛算法，在机器学习中也经常使用。

信息论中的一些概念，包括熵，交叉熵，KL散度，JS散度，互信息，信息增益，一定要深刻理解这些概念。如果你不理解KL散度，那怎么理解变分推断和VAE？

参考书目：

概率论国内理工科专业使用最多的是浙大版的教材：

《概率论与数理统计》，国外的书籍推荐《信息论基础》

最优化方法

前面已经说过，最优化方法是机器学习的灵魂，用于确定模型的参数或预测结果。不幸的是，工科专业一般没有学过这门课。不过只要你理解了微积分和线性代数，并不难推导出这些算法。下面列出常用的最优化方法知识点：

梯度下降法。最简单的优化算法，但却很有用，尤其在深度学习中。

随机梯度下降法。在深度学习中的重要性妇孺皆知。

最速下降法。梯度下降法的改进型，是理解梯度提升等算法的基础。

梯度下降法的改进型。如AdaGrad，AdaDelta，Adam等，使用深度学习开源库的时候经常会看到这些名字。

牛顿法。二阶优化算法的典型代表，只是在深度学习中用的少。在logistic回归等算法的训练中会用到它。

拟牛顿法。牛顿法的改进，在条件随机场等模型的训练中会用到L-BFGS等算法。

坐标下降法。在logistic回归等模型的训练中会用到它，不难理解。

凸优化。最优化中的核心概念之一，如果一个问题被证明为凸优化问题，恭喜你，它基本上可以较好的解决。

拉格朗日乘数法。在各种算分的推导中经常使用，如主成分分析，线性判别分析等，如果不熟练掌握它，你将非常艰难。

KKT条件。拉格朗日乘数法扩展到带不等式约束后的版本，在SVM的推导中将会使用。

拉格朗日对偶。不太好理解的知识点，在SVM的推导中经常用到，不过套公式并不难。

多目标优化。一般很少使用，在多目标NAS中会使用它，如帕累托最优等概念。

变分法。用于求解泛函的极值，在某些理论推导中会用到它，如通过变分法可以证明在均值和方差一定的情况下，正态分布的熵最大。变分推断中也会用到此概念。如果熟练的掌握了微积分，推导出欧拉-拉格朗日方程并不困难。

参考书目：

最优化方法可以参考下面两本经典教材：

图论

机器学习中的某些问题可以用图论的方法解决，如流形学习，谱聚类。某些算法的表达也可能用到图论的知识，如深度学习中的计算图，NAS中的网络拓扑结构图。概率图模型让很多初学者谈虎色变，它是图论与概率论的完美结合。下面介绍常用的图论知识点。

图的基本概念，如顶点，边，有向图，无向图等。

邻接矩阵与加权度矩阵，图论中的核心概念，边一般都带有权重的。

某些特殊的图，如二部图，有向无环图等，在深度学习中经常会用到他们。

最短路径问题。经典的Dijkstra算法是每个程序员必须掌握的。

拉普拉斯矩阵和归一化拉普拉斯矩阵。比较难理解的概念，机器学习中的很多算法，如流形学习，使用图论的半监督学习，谱聚类都离不开它。理解这个矩阵和它的性质，是理解这些算法的基础。

参考书目：