动态规划问题-LeetCode 91、72（动态规划方程）

作者：TeddyZhang，公众号：算法工程师之路

回溯问题：LeetCode #91 #72

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编程题

【LeetCode #91】解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下方式进行了编码： 'A' -> 1 'B' -> 2 … 'Z' -> 26 给定一个只包含数字的非空字符串，请计算解码方法的总数。

示例 1:

输入: "12" 输出: 2 解释: 它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。 示例 2: 输入: "226" 输出: 3 解释: 它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

解题思路：

假设dp[i]表示前i-1个数字所解码的字符串数量，因此对于i来说，且dp长度为s.length()+1，其有两种编码方式：

• 由一个数字编码而来，即最后一个数字s[i-1]不为零即可，从而需要加上前i-2的解码数量，即dp[i] += dp[i-1]
• 由两个数字编码而来， 即最后一个数字s[i-2]和s[i-1]构成的两位数字在1~26之间，从而要加上前i-3个数字的解码数量，即dp[i] +=dp[i-2]

我们只需要判断这两个条件，如果成立了，就加上相应的结果即可！

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        if (s[] == '0') return ;
        vector<int> dp(s.length() + );
        dp[] = dp[] = ;
        for(int i = ; i <= s.length(); i++){
            if(s[i-1] != '0'){
                dp[i] += dp[i-1];
            }
            if((s[i-2] == '1') || (s[i-2] == '2' && s[i-1] <= '6')){
                dp[i] += dp[i-2];
            }
        }
        return dp[s.length()];
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/decode-ways

【LeetCode #72】编辑距离

给定两个单词 word1 和 word2，计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。 你可以对一个单词进行如下三种操作： 插入一个字符 删除一个字符 替换一个字符 示例 1:

输入: word1 = "horse", word2 = "ros" 输出: 3 解释: horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r') rorse -> rose (删除 'r') rose -> ros (删除 'e')

解题思路：

利用动态规划的思想，我们可以得到以下几个递推式： 在DP矩阵初始化时，dp[i][j]表示source[0:i]编辑成result[0:j]所需要的最小编辑距离，因此当i=0或者j=0，则需要最小编辑距离为非零长度字符串的长度（依次插入或删除）。

1. 如果source[i]和result[j]字母相同，则cost[i][j] = cost[i-1][j-1]，相同字符不进行处理，不需要操作数。
2. 将对word1处理转换为word1和word2的处理：

• word1 插入一个字符 dp[i-1][j] + 1 -> dp[i][j]
• word1 删除一个字符 = word2 插入一个字符 dp[i][j-1] + 1 -> dp[i][j]
• word1 替换一个字符 = word1 word2 都替换一个字符 dp[i-1][j-1] + 1 -> dp[i][j]

综上所述，其状态方程可以总结为两个： 当word1[i] == word2[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1], 即没有操作 当word1[i] != word2[j]，则dp[i][j] = 1 + min(cost[i-1][j-1], min(cost[i][j-1], cost[i-1][j]))，每步最小的操作数+1。

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.length();
        int n = word2.length();

        vector<vector<int>> cost(m+, vector<int>(n+));

        for(int i = ; i <= m; ++i){
            cost[i][] = i;
        }
        for (int j = ; j <= n; ++j) {
            cost[][j] = j;
        }
        for (int i = ; i <= m; ++i) {
            for (int j = ; j <= n; ++j) {
                if (word1[i-1] == word2[j-1]) {
                    cost[i][j] = cost[i-1][j-1];
                } else {
                    cost[i][j] =  + min(cost[i-1][j-1], min(cost[i][j-1], cost[i-1][j]));
                }             
            }
        }
        return cost[m][n];
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance