证明 \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) ^{x} = e
证:
前面的文章已经证明\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\begin{pmatrix}1 + \frac{1}{n} \end{pmatrix}^n = e ,点此查看
令n = [x], 即对x进行向下取整, 所谓向下取整, 就是直接去掉小数位, 保留整数位
那么,
\frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \leq \frac{1}{n} 进一步
1+ \frac{1}{n+1} < 1+ \frac{1}{x} \leq 1+ \frac{1}{n} 再进一步
{\begin{pmatrix} 1+ \frac{1}{n+1} \end{pmatrix}} ^{n} < {\left ( 1+ \frac{1}{x} \right )}^{x} \leq {\left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) }^{n+1} 注意上式第三项{\left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) }^{n+1}, 这里的指数为啥是n+1呢?
因为{\left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) }^{x} 与 {1+\left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) }^{n}谁大还真不好说
我们求一下不等式第一和第三项在{x \rightarrow \infty}处的极限
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} {\begin{pmatrix} 1+ \frac{1}{n+1} \end{pmatrix}} ^{n}=\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \left( {1 +\frac{1}{t} } \right) ^ {t-1} = \frac{ \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \left( {1 +\frac{1}{t} } \right) ^ {t} }{ \lim\limits_{t \rightarrow \infty} 1 +\frac{1}{t} } = e注意这里做了个换元t=n+1
\lim\limits_{x \rightarrow \infty} {\begin{pmatrix} 1+ \frac{1}{n} \end{pmatrix}} ^{n+1}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} {\begin{pmatrix} 1+ \frac{1}{n} \end{pmatrix}} ^{n} {\begin{pmatrix} 1+ \frac{1}{n} \end{pmatrix}} =e根据夹逼定理
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) ^{x} = e