数列不解释系列之函数极限

我是一名大学生， 一名数学的渣.

私以为,所谓专业, 就是熟练, 有货要倒得出, 说的明白, 所有才有这一系列文章, 我将分享在学数学过程中的一些栗子, 我尽量讲的深入浅出, 希望大家能够喜欢.

今天来给大家说说函数的极限

注: 本文章绝对原创, 所有参考使用^{[digit]}标出, 并在文末参考文献中说明_ 本文章若有任何的错误, 欢迎指教, 这是我的邮箱:devecor@163.com

基本概念的解释

函数极限: 不解释

左极限: 不解释

有极限: 不解释

极限运算法则: 不解释

无穷大量: 不解释

无穷小量: 不解释

等价无穷小量: 不解释

同阶无穷小量: 不解释

高阶无穷小量: 不解释

栗子2-1: 海涅定理

证明: 函数f(x) = sin(\frac{1}{x}), 在x \rightarrow 0时极限不存在

证明之前我们先介绍一个定理: 海涅定理, 原文是这样

设f(x)在点x_0的某一邻域内有定义, 则 \lim\limits_{x \rightarrow x_0} = A等价于对任意数列\lbrace x_n \rbrace x_n \neq x_0, 且\lim\limits_{x\rightarrow \infty} x_n = x_0, 有\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = A^{[1]}

这段乱码是说, 函数收敛与某一极限, 任何一个相应的数列收敛于相同的极限, 注意这里的数列和函数之间的关系.如果有两个数列{f(x_n)}和f(y_n)}收敛与不相同的极限, 那说明什么? 极限不存在

开始证明

定义两个数列\lbrace x_n \rbrace和\lbrace y_n \rbrace, 注意与数列\lbrace f( x_n) \rbrace和\lbrace f(y_n) \rbrace的区别

显然,

我们再求数列\lbrace f( x_n) \rbrace和\lbrace f(y_n) \rbrace在n \rightarrow \infty的极限

二者不相等, 即函数f(x) = sin(\frac{1}{x}), 在x \rightarrow 0时极限不存在

栗子2-2: 等价无穷小

证明: \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin x}{x} = 1

如下图, 三角形OPA面积 < 扇形OPA面积 < 三角形OTA面积,令图中圆的半径为1, 则有下列不等式

图2-1

不要问我上式是咋来的, 我是不会告诉你三角形的面积是 底x高\div2 的, 这里不解释

变形整理

继续变形

0 < 1 - \frac{sin(x)}{x} < 1 - cos(x)= \frac{1}{2} sin^{2}(\frac{x}{2})

进一步

\lim\limits_{x \Rightarrow 0} \frac{1}{2} sin^{2}(\frac{x}{2}) = 0

回忆在数列极限中所讲的夹逼定理, 不难得出

也就是说

栗子2-3: \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{x} \right ) ^{x} = e

过程比较烧脑, 放过自己吧

参考文献

1 四川大学数学学院高等数学教研室. 高等数学第一册M. 第四版