拉普拉斯（Laplace）分布

Laplace分布的概率密度函数的形式是这样的：

p(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x-\mu|}{\lambda}}

一般μ的取值为0，所以形式如下：

p(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}}

它是由两个指数函数组成的，所以又叫做双指数函数分布（double exponential distribution）

均值和方差

均值的求解,若X的概率密度函数为f(X),那么X的均值为

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x

，代入以后可以发现里面的积分函数为奇函数，所以均值为0。

方差根据D(X)=E\left(X^{2}\right)-(E(X))^{2} ,因为后面一项为0,所以主要求前一项E\left(X^{2}\right) ,E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} f(x) d x

根据积分公式∫udv=uv−vdu进行求解，得到方差为2 \lambda^{2} 。

使用pyplot画概率分布图

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace_function(x, lambda_):
    return (1/(2*lambda_)) * np.e**(-1*(np.abs(x)/lambda_))
x = np.linspace(-5,5,10000)
y1 = [laplace_function(x_,1) for x_ in x]
y2 = [laplace_function(x_,2) for x_ in x]
y3 = [laplace_function(x_,0.5) for x_ in x]

plt.plot(x, y1, color='r', label="lambda:1")
plt.plot(x, y2, color='g', label="lambda:2")
plt.plot(x, y3, color='b', label="lambda:0.5")

plt.title("Laplace distribution")
plt.legend()
plt.show()