『曲线构建系列 2』多曲线方法 (基差)

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1

基础知识

基差就是两种相似利率的差（本章只讨论 IBOR 利率），因此了解基差之前首先要知道 IBOR。

1.1

IBOR 利率

银行同业拆放利率 (IBID, IBOR) 是指银行同业之间的短期资金借贷利率。同业拆放有两个利率：

• 银行同业拆进利率 (Interbank Bid Rate, IBID) 表示银行愿意借款 (找别人借) 的利率
• 银行同业拆出利率 (Interbank Offered Rate, IBOR) 表示银行愿意贷款 (借给别人) 的利率

一家银行的拆入 (借款) 实际上也是另一家银行的拆出 (贷款) 。同一家银行的拆进和拆出利率相比较，拆进利率永远小于拆出利率，其差额就是银行的得益。

IBID 几乎在同业市场之外没有什么影响，而 IBOR 却是其他很多金融产品 (比如债券、房贷和利率互换) 的参考标准。因此利率市场只关注 IBOR 而不是 IBID。

IBOR 中大量使用的利率是伦敦同业拆出利率 (London Interbank Offered Rate, LIBOR)。LIBOR 指在伦敦的第一流银行借款给伦敦的另一家第一流银行资金的利率。现在 LIBOR 已经作为国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率，贷款协议中议定的 LIBOR 通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间 (一般是伦敦时间上午 11:00) 报价的平均利率。LIBOR 报价对应 5 个币种（USD, EUR, JPY, GBP, CHF）和 7 个期限（ON/TN, 1W, 1M, 2M, 3M, 6M, 12M）。每个工作日共有 35 个利率 (币种数 ⨯ 期限数)。

由此可见利率有两个维度，币种和期限。不同币种好理解，不同期限看下图，想一想 IRS 的浮动端就懂了。

在本帖我们先不讨论 ON/TN 这个期限，这是下帖的内容。

对每个币种，总有一个期限的 IBOR 流动性最强，它对应的 IBOR 称为标准 IBOR（basic IBOR），而其他期限的 IBOR 称为非标准 IBOR（non-basic IBOR）。四个币种的常见各类 IBOR 总结如下表。

1.2

IBOR 基差

基差（basis spread）就是两个利率之间的差。

利率基差（interest basis spread）就是同一货币在不同期限的 IBOR 之差，比如

• USD LIBOR 3M - USD LIBOR 6M
• JPY LIBOR 6M - JPY LIBOR 1M
• EUR EURIBOR 6M - EUR EURIBOR 1Y

跨货币基差（cross-currency basis spread）就是同一期限（通常是三个月）在不同货币下的 IBOR 之差，比如

• USD LIBOR 3M - JPY LIBOR 3M
• USD LIBOR 3M - EUR EURIBOR 3M
• USD LIBOR 3M - HKD HIBOR 3M

看一个 2011 年时欧元市场各种期限的 EURIBOR（ON, 1M, 3M, 6M, 12M）相互的基差。

从上图我们得到几个重要观察：

• 所有基差大于零，证明短期限 EURIBOR 大于长期限 EURIBOR
• 期限差别越大，基差越大（深蓝 x 线 - EURIBOR ON 和 12M）

再看下图。注意到 2007 年 8 月后（全球次贷危机爆发点）EURIBOR 3M 和 OIS 3M 两者之差不再接近零，很明显它们之间的差别已经不能再被忽略了。

在全球次贷危机之前，所有期限的 IBOR 曲线都几乎一样（基差几乎为零），那么不同期限 IBOR 的浮动端都相等，都等于 1 - P(到期日)。

在全球次贷危机之后，基差不能被忽略，因此我们需要多条曲线来对不同期限的浮动端进行定价。

1.3

多曲线构建框架

在考虑基差的多曲线环境下，该构建框架需三个步骤就可以生成所有曲线。

第一步：构建好的基准曲线（basic curve）用于计算折现因子和标准 IBOR。

第二步：在各国利率市场中，收集利率基差掉期的报价，再加上基准曲线（basic IBOR curve），构建出其他期限的 IBOR 曲线。所有期限的 IBOR 曲线称为指标曲线（index curve）。

第三步：在外汇市场中，收集 USD 对其他货币的即期汇率、掉期点和跨货币基差掉期的报价，再加上 USD 折现曲线，构建出其他货币的用于外汇产品的折现曲线。

第二章分析第二张图，第三章分析第三张图。

2

用利率基差建曲线

2.1

市场报价

利率基差报价

利率基差掉期（Tenor Swap, TS）是浮动换浮动的利率掉期，双方定期交换 2 个期限不同的 IBOR，其中一端需添加一个利差（spread），惯例是利差加在短期限的 IBOR 上面，这样保证利差总是正值。该利差以 TS 产品的形式在市场上报价。下表是某天市场上 USD 3M-6M TS 的真实报价：

上表第二行的数据是说，在一年到期的 TS 里，一方支付 2 次 USD LIBOR 6M 浮动利率，另一方支付 4 次 USD LIBOR 3M 浮动利率加上 0.12875% 基差。

TS 的现金流图示例如下。

首先，定义：

为了简化公式里符号，把短和长期限分别定义为 k = 1 和 k = 2。根据 L1 的收入方，TS 的价值给定如下：

在上式中，P(t,T) 是折现因子，而以下用来计算远期利率 Lk 的 Pk(t,T) 被称为伪折现因子（pseudo discount factor），公式如下：

多曲线定义为一系列的 {P(∙), P1(∙),…, PK(∙)}，其中

• P(∙) 是折现曲线（discount curve）
• 每个期限 Pk(∙) 是对应的指标曲线（index curve）
• 在每个币种的掉期市场中，有一个期限（k 月）参考利率 Lk 的交易最活跃，称为基准曲线（basic curve）；而其他期限的参考利率称为非基准曲线（non-basic curve），它们统称为指标曲线。

市场基差报价可看成是平价利差（par spread），之所以平价是它使得此类 TS 的现值等于 0。换言之：

2.2

方法论

以 EUR 利率市场为例，对 EUR IRS，标准指标曲线（basic curve）和折现曲线都是 EURIBOR 6M，用 {P6M(∙)} 表示，我们利用利率基差报价可以构建出非标准指标曲线（non-basic curve）如 {P1M(∙)}, {P3M(∙)} 和 {P12M(∙)}。拿 EUR 3M-6M TS 举例：

需要注意一个细节，以上的 EURIBOR 以 L(t; Tm, Tm+6M) 来表示，而没有用 L(t; Tm, Tm+1) 来表示，因为 EURIBOR 的到期日不一定等于下个付息日，而此差异可通过 L(t; Tm, Tm+6M) 的符号来表示。

以上公式右手边是已知的，因为 EURIBOR 6M 已经根据构建完了（在单曲线环境中）。另外，公式左手边的折现因子是根据折现曲线 EURIBOR 6M 来计算的，也是已知的。因此，唯一未知量就是 L3M(∙)，即 P3M(∙)。

市场报价的基差也有个期限结构（1Y, 2Y, 3Y, …, 10Y, 15Y, 20Y），因此按到期日从小到大，对于每个 TS 都可以写出上面方程，然后解出 EURIBOR 3M 在不同时间段的伪折现因子，最后连接成曲线 {P3M(∙)}。

每个币种都有其对应的标准 IBOR 曲线（也是折现曲线），此外还有非标准 IBOR 曲线。四个币种的总结如下表。

3

用跨货币基差建曲线

3.1

市场报价

跨货币基差掉期（Cross-Currency Basis Swap, CCBS）是浮动换浮动的掉期，双方定期交换以 2 个币种计价的浮动利息（以相同期限的 IBOR 计算）和本金，其中一端需添加一个利差，惯例是利差加在非USD 的 IBOR 上面。该利差以 CCBS 产品的形式在市场上报价。下表是某天市场上 USD/JPY CCBS 的真实报价：

上表第二行的数据是说，在一年到期的 CCBS 里，一方支付 4 次 USD LIBOR 3M 浮动利率，另一方支付 4 次 JPY LIBOR 3M 浮动利率加上 -0.70% 基差。

CCBS 的现金流图示例如下。

对于一笔 USD/JPY CCBS，其中一方收入 USD LIBOR 和付出 JPY LIBOR 加一个利差。以 USD 计价的 CCBS 的现值（按每单位的 USD 本金和 S(tsp) 单位的 JPY 本金）给定如下：

其中

• s 指的是必须添加到 JPY 端的利差
• S(tsp) 是 USD/JPY 即期汇率，用于将 USD 本金转换成 JPY 本金
• S(t) 是估值日当天观察到的 USD/JPY 汇率

3.2

方法论

接下来我们将探讨如何根据 USD 利率曲线、JPY 利率曲线和 USD/JPY 跨货币基差，来构建的用于折现外汇产品中 JPY 现金流的折现曲线，通常称为 JPY USD-implied 曲线。

JPY USD-implied 曲线分为近端和远端，以 1 年期限作为分界点，近端曲线用 USD/JPY 的即期汇率和掉期点来构建，整个方法论在〖曲线构建 - 单曲线方法〗小节 3.2 已经讲过了。长端曲线则用 USD/JPY 跨货币基差来构建。

对于一笔平价 CCBS 合约，VCCS(t)= 0，因此有以下关系：

在上式中，用于计算 USD LIBOR 3M 的指标曲线和用于计算 JPY Libor 3M 的指标曲线已构建好了，式子里唯一的未知量就是折现因子 PJPY,imp(∙)。

市场报价的跨货币基差也有个期限结构（1Y, 2Y, 3Y, …, 30Y, 40Y, 50Y），因此按到期日从小到大，对于每个 CCBS 都可以写出上面方程，然后解出 JPY 端在不同时间段的伪折现因子，接上 1Y 内用即期汇率和掉期点构建的短端曲线，最后连接成完整的曲线 {PJPY,imp(∙)}。

每个币种都有用于利率产品折现的曲线，另外，每个非 USD 币种都有一条用于外汇产品折现的曲线，四个币种总结如下表：

4

总结

当利率基差和跨货币基差不能忽略时，多曲线环境就产生了：

• 对于每一个货币，折现曲线和（若干个）指标曲线不再相同。
• 对于每一个非美元货币，折现利率产品的曲线和折现外汇产品的曲线不再相同。

结合上贴和本帖的内容，继续画美图。

从上图看起来，整套曲线构建理论已经考虑了基差风险，也统一了利率和外汇市场，已经非常一致了。

但是，这幅图还不能反映真实的市场状况。在 2008 年金融危机之后，在衍生品交易时双方都要放抵押品，LIBOR 不再是无风险利率。因此隔夜利率互换 (overnight index swap, OIS) 曲线用来折现现金流作为折现曲线，而 LIBOR 只能用来计算远期利率作为指标曲线。

考虑抵押品来构建多曲线，这是下帖的课题，也是曲线构建系列的大结局。

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