网格测量

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测地距离是什么

• 测地曲率：曲面上的曲线有一个曲率向量。这个向量往曲面的法线做投影，得到的投影向量就是法曲率向量；往曲面的切平面做投影，得到向量就是测地曲率向量，这个向量的大小就是测地曲率。所以从定义上看，测地曲率刻画了曲线在曲面内蕴的弯曲程度，而法曲率刻画了曲线在嵌入空间的弯曲程度。比如一张平面上的直线的测地曲率为0，法曲率为0，如果把这张纸弯曲成圆柱，纸上的直线在三维空间就弯曲了，但是测地曲率还是为0。
• 测地线：测地曲率为0的曲线就是测地线。两点之间的最短曲线就是测地线，反过来讲不一定成立，但是从局部上看是成立的。全局上看不一定成立，比如球上连接两点的优弧虽然是测地线，但不是最短距离。
• 网格上的测地线：网格上的测地线如果限制在网格的边上走，则为近似的测地线，如下图中间所示。如果测地线可以走网格的面，则为精确的测地线，如下图右所示。

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• 测地线的应用：可以用于测量网格上两点之间的距离，比如下图测量鞋子。也可以用于线切割网格的应用中，比如UV展开网格前，需要先用测地线把网格割开。

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曲率

曲率有很多种类，如高斯曲率，平均曲率，测地曲率，法曲率，主曲率等等。

• 测地曲率，法曲率：属于曲线曲率概念。曲面上的曲线有一个曲率向量。这个向量往曲面的法线做投影，得到的投影向量就是法曲率向量；往曲面的切平面做投影，得到向量就是测地曲率向量，这个向量的大小曲率值
• 主曲率：属于曲面曲率概念。经过曲面某一点有无数条曲线，每条曲线都有法曲率，那么就有最大最小的法曲率，这个最大最小值就是主曲率，对应的曲线在这点的切线方向就是主曲率方向。有时候，最大最小值相等，就退化成脐点。
• 高斯曲率：属于曲面曲率概念，它度量了曲面内在的弯曲程度。一个曲面做任何非拉伸的变换都不会改变它的高斯曲率，如平面高斯曲率为0，把它弯曲成圆柱，其高斯曲率也还是为0。高斯曲率为0的曲面也叫可展曲面，它展平到平面不会产生扭曲。高斯曲率也等于两个主曲率的乘积，但是它本身不依赖主曲率。
• 平均曲率：属于曲面曲率概念，它度量了曲面在空间中的弯曲程度。比如平面弯曲成圆柱后，其平均曲率就不为0了。它等于主曲率的平均值。平均曲率为0的曲面也叫极小曲面，如肥皂薄膜。

生活当中，人们讨论中提到的曲率是哪一种曲率呢？我认为它并不是特指某类曲率，可能max(各类曲率)和它比较接近。比如一般认为圆柱也有非零曲率值，因为它的最大主曲率非零。

曲率相关的测地线

有时候，用户需要测地线能吸附到特征边上。可以通过曲率信息来改变网格的测度。如下图所示，中图的线为普通的测地线，右图是吸附到特征边的测地线。

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软件中的单位系统

三维数据一般都有自己的单位，比如1可能代表1米或者1毫米。数字的单位需要用户指定，或者导入的数据文件有标明单位。一般的模型文件，如stl，obj，asc等，都没有单位信息的。导入模型文件后，需要软件用户指定单位。数值计算是没有单位概念的。具体计算的时候，数据统一到同一个单位系统就可以了。比如1米+1毫米，可以是（1000+1）毫米，也可以是(1+0.001)米。