64. 最小路径和
1. 题目
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。 说明：每次只能向下或者向右移动一步。 示例:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。
2. 思路
了解了基础的动态规划之后，这样的题做起来不算难。
- 找子问题。
如果我们要求到
[i][j]的最短路径和，其实只要知道到达其上方与其下方的最短路径和就可以了，因为要到达[i][j]，总得先到达[i-1][j]或者[i][j-1],只需要到达两者的距离选择较小的那个，加上[i][j]处的值就可以了。 - 转移方程 我们新建一个二维矩阵dp,与原矩阵大小相同，其中dp[i][j]存储的是从左上角到其的最短路径和。 则有(设原矩阵为
mat
)：
![dp[i][j]=min(dp[i][j-1]+dp[i-1][j])+mat[i][j]](https://ask.qcloudimg.com/http-save/6430184/21ghpf5dfx.svg)
dp[i][j]=min(dp[i][j-1]+dp[i-1][j])+mat[i][j]
- 边界值。 所谓边界值，就是用转移方程算不出来的值，需要在一开始设定，很容易可以求出来，这里的边界值就是第一行与第一列。
- 利用转移方程动态规划求解。 code:
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int row = grid.size();
int col = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(row, vector<int>(col, 0));
/* 初始化第0行及第0列 */
dp[0][0] = grid[0][0];
for (int i = 1; i < row; i++) {
dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i][0];
}
for (int i = 1; i < col; i++) {
dp[0][i] = dp[0][i-1]+grid[0][i];
}
/* 动态规划 */
for (int i = 1; i < row; i++) {
for (int j=1; j < col; j++) {
dp[i][j] += min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[row-1][col-1];
}
};题外话：这个专题可能会继续更新一阵子。
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