【算法学习】减治 · 分治 · 变治
减治 · 分治 · 变治
好久不见，这里依旧是代班的工人~
可能不是很想。。。emmm。。。没关系。。。
最近越学越发觉自己懂得好少。。。
但是最近又好忙好忙。。。
不过如今你们看到了这篇文章，说明我还是挺过来了！鼓掌~
（虽然不知道能不能挺过下周）
那么，趁着我还活着，这次还是带来基础算法的知识
秉持着大神来回顾，小白来学习的原则
让我们开始这期的学习吧！
目录
01.减治法
02.分治法
03.变治法
01
减 治 法
decrease-and-conquer method
普卢塔克说，萨特斯为了告诉他的士兵坚忍和智慧比蛮力更重要的道理，把两匹马带到他们面前，然后让两个人拔光马的尾毛。一个人是魁梧的大力士，他用力地拔了又拔，但一点效果也没有；另一个人是一个精美的、长相矫捷的裁缝，他微笑着，每次拔掉一根毛，很快就把尾巴拔得光秃秃的。
——E. Cobham Brewer，《惯用语和寓言词典》，1898
减治法（decrease-and-conquer method）
减治法采取划分后选择计算的思想，利用一个问题和同样较小规模的问题之间的某种关系进行划分。我们先确立这种关系，然后既可以从顶至下，也可以从底至上地来运用该关系，将大问题分解成小问题来解决，像是层层嵌套。在实际解决的过程中只针对部分子问题进行求解。
减治法有３种主要的变种：
1.减去一个常量 (decrease by a constant)
2.减去一个常数因子(decrease by a constant factor)
3.减去的规模是可变的(variable size decrease)
1.减去一个常量 (decrease by a constant)
在减常量变种中，我们每次从问题规模中减去一个规模相同的常量。（一般来说，这个常量等于一）
（CSDN盗图，别介意~）
函数f(n) = a^n的求解过程就是一个栗子：
在这里，虽然算法的时间复杂度和蛮力法一致，但是体现的思想却不一样。
其他的栗子还有：
深度优先、广度优先查找，拓扑排序等。这里对拓扑排序稍加介绍。
拓扑排序是指：对一个有向无环图G进行排序，将G中所有顶点排成一个一维线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前（起点在终点之前）。
运用减治法思想的步骤：
1.在有向图中选一个没有前驱的顶点，输出；
2.删除所有和它有关的边；
3.重复上述两步，直至所有顶点输出。
（每次我们只减去常量1，因此当有多个点没有前驱时，只需要随意挑选一个点输出）
比如这样一个图：
再比如这样一个图（其实是同一个图啦）：
我们最终会得到这样的序列：
v6—>v1—>v4—>v3—>v5—>v2；
当然，类似这样的序列也是正确的：
v1—>v6—>v4—>v3—>v5—>v2；
v1—>v3—>v6—>v4—>v5—>v2。。。
这里是要强调选择的随机性。这完全由代码决定。
没什么大问题，下面就到了激动人心的代码环节：
//拓扑排序：寻找图中入度为0的顶点作为即将遍历的顶点，遍历完后，将此顶点从图中删除 #include <iostream> using namespace std;
int adjMatrix[105][105];//参数adjMatrix:邻接矩阵 int source [105]; // 参数source:给出图的每个顶点的入度值 int n,m; //给出图的顶点、边个数
void getSourceSort( ){ int count = 0; //用于计算当前遍历的顶点个数 bool judge = true; while(judge) { for(int i = 1;i <= n;i++) { if(source[i] == 0) //当第i个顶点入度为0时，遍历该顶点 { count++; if (count<n)cout<<i<<" --> "; if(count==n)cout<<i; source[i] = -1; //代表第i个顶点已被遍历 for(int j = 1;j <= n;j++) //寻找第i个顶点的出度顶点 { if(adjMatrix[i][j] == 1) source[j] -= 1; //第j个顶点的入度减1 } } } if(count == n) judge = false; } }
//返回给出图每个顶点的入度值 void getSource( ){ for(int i = 1;i <= n;i++) //若邻接矩阵中第i列含有k个1，则在该列的节点的入度为k，即source[i] = k { int count = 0; for(int j = 1;j <= n;j++) { if(adjMatrix[j][i] == 1) count++; } source[i] = count; } }
int main(){ int a,b; cin>>n>>m; for(int i = 1;i <= n;i++) //初始化邻接矩阵 for(int j = 1;j <= n;j++) adjMatrix[i][j] =0; for(int i = 1;i <= m;i++) { cin>>a>>b; adjMatrix[a][b] = 1; }
getSource(); getSourceSort( );
return 0;}
2.减去一个常数因子(decrease by a constant factor)
减去常数因子实际上就是把规模除以一个常数。（在多数情况下，这个常数因子是二）
继续以计算f(n)=a^n为栗：
这里的时间复杂度为O (log n)，就比蛮力法优化多了。
对分查找，假币问题都可以用这种思想。我们以假币问题为例：
有n枚银币，其中有1枚是假的，假币重量偏重、偏轻未知，输入银币的重量，求假币的位置。
我们先取出一枚银币作为对照，再将银币分为两半称重，每次称重对比，再从有问题的一堆中继续称重查找。这样，每次我们都减去了常量因子2。
当然，银币总数是奇偶时需要不同的处理方式，在银币数量为偶数时，由于不知道假币偏轻或偏重，我们需要选择一个compare进行对照。
同时，我们还可以把银币分为三堆考虑，进一步优化时间复杂度。（作为代价，代码要考虑总数mode3余1、2、0的情况，同时要比较三堆，会稍稍复杂一些）
Codding time：
//三分法求八枚银币问题#include <iostream>using namespace std;
int coin[105],num;
int sum(int left, int right){ int sum = 0; for (int i = left; i <= right; i++) sum += coin[i]; return sum;}
int findfake(int left, int right){ int n=right-left+1; int p1=(right+left)/3; int p2=p1*2; int sign = n % 3; if (sign == 0) { int fake = 0; int A, B, C; A = sum(left,p1); B = sum(p1+1,p2); C = sum(p2+1,right); if (n == 3) { if (A == B) { fake = right; } else if (A == C) { fake = right - 1; } else { fake = left; } return fake; } else { if (A == B) { fake = findfake(p2+1,right); return fake; } else if (A == C) { fake = findfake(p1+1,p2); return fake; } else { fake = findfake(left,p1); return fake; } } } if (sign == 1) { int fake = right; int A, B, C; A = sum(left,p1); B = sum(p1+1,p2); C = sum(p2+1,right-1); if (n == 1) { return fake; } else { if (A == B) { if (A == C) return fake; if (A !=C) { fake = findfake(p2+1,right-1); return fake; } } else if (A == C) { fake = findfake(p1+1,p2); return fake; } else { fake = findfake(left,p1); return fake; } } } if (sign == 2) { int fake = 0; int x1 = right - 1; int x2=right; int A, B, C; A = sum(left,p1); B = sum(p1+1,p2); C = sum(p2+1,right-2); if (n == 2) { int campare; //参照物 if (right != num) campare = coin[num]; else campare = coin[1]; if (coin[x2] == campare) fake = x1; else fake = x2; return fake; } else { if (A == B && B == C) { int campare = coin[0]; if (coin[x1] == campare) fake = x2; else fake = x1; return fake; } else if ((A == B) && (A!=C)) { fake=findfake(p2+1,x1-1); return fake; } else if (A == C) { fake=findfake(p1+1,p2); return fake; } else { fake = findfake(left,p1); return fake; } } } return 0;}
int main(){ cin >> num; for (int i = 1; i <= num; i++) cin >> coin[i]; int fake=findfake(1,num);
cout << fake;
return 0;}
3.减去的规模是可变的(variable size decrease)
字面理解，就是指每次减去的规模的模式或数值是不同的。
这里我们拿欧几里德算法为栗子。学过数论的盆友们知道（数学害人不浅啊），欧几里得算法是一种求最大公约数的较为简便的方法，也叫辗转相除法。用一个简单的式子来表示：
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (这里a>b)
（题外话，我记得数论里最大公约数是不需要gcd的。。。）
可以大致想象到，这里每次减去的规模是完全未知、可变的。
我们再举一个栗子：二叉查找树。
百度百科告诉我们，二叉查找树是一颗这样的树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
（4）没有键值相等的结点。
根据树的性质，我们可以发现对二叉查找树的查找并不困难，只要从顶点开始不断比较就行了。但二叉查找树不一定就是平衡二叉树，如果只有一个分支，那减去的规模就会变化。（为什么我感觉解释的好扯啊。。。）
查找的代码并不困难，我们这里只给出实现插入和查找两种功能的代码。
（就当练习数据结构了= =）
Coding time：
//二叉排序树 #include <iostream>using namespace std;
typedef class BiTNode //定义结点类，指针类型名 {public: int data; class BiTNode *leftchild, *rightchild;}*BiTree; // BST查找,查找成功,则p指向该元素节点,返回truebool searchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree &p){ if (!T) { p = f; return false; } else if (key == T->data) { p = T; return true; } else if (key < T->data) return searchBST(T->leftchild, key, T, p); else return searchBST(T->rightchild, key, T, p);} //BST插入，用于建立树 bool insertBST(BiTree &T, int key){ BiTree p, s; //因为在searchBST的过程中有进行比较,所以search完T就指向该插入位置的父结点 if (!searchBST(T, key,NULL, p)) { s = new BiTNode; s->data = key; s->leftchild = s->rightchild = NULL; if (!p) T = s; //p是空的说明树是空的,则插入在根节点 else if(key < p->data) p->leftchild = s; else p->rightchild = s; return true; } else return false;} int main(){ //二叉树的创建 int n; cout<<"输入点个数"<<endl; cin>>n; BiTree T = NULL; cout<<"输入节点"<<endl; for (int i = 0; i < n; i++) { int a; cin>>a; insertBST(T, a); } //二叉树的查找 BiTree p=NULL; BiTree f=NULL; cout<<"接下来进行二叉排序树的查找,请输入值key"<<endl; int key; cin>>key; if (searchBST(T, key, f, p)) cout<<"在二叉排序树中"<<endl; else cout<<"不在二叉排序树中"<<endl; return 0;}
emmm，这图好像看不出什么。。。
编写的过程中有一点小插曲，我看错了树的定义，所以一开始的版本出现了错误(┬＿┬)，可以放出来给无聊的人看看，找找错。（说明看对题目真的很重要！！！）
wrong code：
//二叉查找树的建立（数组实现） #include <iostream>using namespace std;
int size=0; //size为树的规模 int tree[1005]; const int INF=0;
void addElement(int element){ int p = 1; //指标p if(size == 0) { tree[p] = element; size++; return; } while(true) { if(element<tree[p]) { int p1 = 2 * p ; //p1指向p的左儿子的位置 if(tree[p1] == INF) { tree[p1] = element; size++; return; } else p = p1; } else { int p2 = 2 * p + 1; //p2指向p的右儿子的位置 if(tree[p2] == INF) { tree[p2] = element; size++; return; } else p = p2; } }}
int main(){ int i,j=1; for (i=1;i<=size;i++) tree[i]=INF; int temp; while(cin>>temp) { addElement(temp); } for (i=1;j<=size;i++) { if(tree[i]!=INF) { cout<<tree[i]<<" "; j++; } } return 0;}02
分 治 法
divide-and-conquer algorithm
无论人们在祈祷什么，他们总是在祈祷一个奇迹。每一个祈祷都可以简化为：伟大的上帝呀，请让两个二相加不等于四吧。
——伊万·屠格涅夫（1818 － 1883），俄国作家和短篇小说家
关于分治法，本公司的另一位老板在一年前也写过啦（老板真强，老板真强。。。），大家可以看看那篇，很详细（不是说讲解详细）：
从字面上分析就可以看到有哪些步骤：
分-分解-将问题分解为规模更小的子问题，子问题最好相同或相似；
治-求解-将这些规模更小的子问题逐个击破；
合-合并-将已解决的子问题合并，最终得出原问题的解；
（有时原始问题的解只存在于分解出的某一个（或某几个）子问题中，则只需要在这一（或这几个）子问题中求解即可。例如在图书馆里找书。）
从上述步骤中我们可以看出，分治算法一般适用满足以下条件的场景：
1）问题规模缩小到一定的程度就可以很容易解决；
2）问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；
3）问题分解出的若干子问题的解可以合并为该问题的解；
4）每个子问题都是独立的，相互之间没有交集。（这是区别分治法与减）
在“分”的过程中，我们尽可能让分解出的子问题与原始问题相似，而规模更小。这刚好符合递归的特性。因此，分治法往往与递归联系在一起。
说到这里，是不是有小伙伴觉得分治法与减治法很相似，傻傻分不清？我们这里再举f(n)=a^n的栗子。
n>1时：f(n)=a^(n/2)*a^(n/2)
n=1时：f(n)=a
比较一下减常数因子：
n是偶数时：f(n)= f(n/2)^2
n是大于１的奇数时：f(n)= f((n-1)/2)^2* a
n = 1时：f(n)=a
也就是说，分治法对分治出的部分需要分别处理，进行分开的单独计算，而减治法则利用了"一个问题给定实例的解和同样问题较小实例的解之间的关系"，只针对部分子问题求解，减治掉的那部分就不需要了。
其实，减常因子的减治法也可以看做是分治的变种。
需要注意的是，不是所有的分治算法都一定比简单蛮干更有效，前面的减治法也是，就比方说这里的栗子，时间复杂度仍为o（n）。不过，“通常我们向算法女神所做的祈祷都被应允了”，使用分治法往往比使用其他方法效率更高。
分治法的时间效率T(n)一般满足方程T(n)=aT(n/b)+f(n)。因此，分治法对于并行算法是非常理想的。
我们介绍一个和数学有关的算法：
Strassen矩阵乘法。
（虽然在骁老板的文章里有提到，但我还是不辞辛苦地再写一遍八）
考虑到大家都是小白，先说明矩阵乘法的定义。（其实是我自己不懂才先去查的）
这张图很清楚的说明了矩阵乘法的计算公式。为了方便讲解，我们先以n*n的偶数阶方阵为例，之后再拓展到一般的矩阵乘法。
我们从数学中回到算法来。这个问题如果直接暴力计算，需要循环三次：关于i,j,k分别循环。时间复杂度为o（n^3）。
我们采用分治的思想，把偶数阶方阵如图划分为四份（这里的ABC可以是矩阵）：
按照矩阵中的知识，可以得到：
C11 = A11 • B11 + A12 • B21 C12 = A11 • B12 + A12 • B22 C21 = A21 • B11 + A22 • B21 C22 = A21 • B12 + A22 • B22
我们估算一下时间复杂度：T(n) = 8T(n/2) + o(n^2)（前面是不是见过这个式子？）递归的结果是时间复杂度并没有降低。算法女神去死八。
聪明的Strassen不甘心。他发明了一种新的方法，通过降低递归式中T(n/2)的系数来降低时间复杂度。
仍然把每个矩阵分割为4份，然后创建如下10个中间矩阵：
S1 = B12 - B22 S2 = A11 + A12 S3 = A21 + A22 S4 = B21 - B11 S5 = A11 + A22 S6 = B11 + B22 S7 = A12 - A22 S8 = B21 + B22 S9 = A11 - A21 S10 = B11 + B12
接着，计算7次矩阵乘法，在建立7个中间的中间矩阵（中中间矩阵）：
M1 = A11 • S1 M2 = S2 • B22 M3 = S3 • B11 M4 = A22 • S4 M5 = S5 • S6 M6 = S7 • S8 M7 = S9 • S10
最后，根据这7个中中间矩阵就可以计算出C矩阵： C11 = M5 + M4 – M2 + M6 C12 = M1 + M2 C21 = M3 + M4 C22 = M5 + M1 - M3 - M7
证明就留给线性代数的同学们吧，应该不难。当然能不能想到就另说咯。
但不管怎么说，我们利用这个结论，成功地将系数8变成了7，算法的时间复杂度也就降低到了o（n^log7）。
我们再回到一般性矩阵。对于一般性矩阵，我们还是认真看定义吧。。。
对于非偶数阶方阵，我们可以用0将其填充为偶数阶方阵：
如果是奇数阶方阵，我们也可以在找到最近的偶数阶方阵，其余部分直接暴力计算。
（代码中我只实现第一种方式）
很明显这种优化是为了处理大型问题的，既然如此我们在写代码时也需要开辟足够大的规模。一种方法是用指针创建它（这就是代码冗长的主要原因）。因为是二维数组，所以需要用到指向指针的指针，再用数组表示指针，然后就可以用熟悉的处理数组的方式处理数据啦。
代码小长，实际上也没什么内容：
//strassen算法（在此感谢互联网，减少工作量） #include <iostream>#include <iomanip>#include <cmath>using namespace std;
void Strassen(int N, int** MatrixA, int ** MatrixB, int ** MatrixC); //进行矩阵乘法 void ADD(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int length ); //矩阵加法 void SUB(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int length ); //矩阵减法 void MUL(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult ); //计算规模最小的二阶矩阵（常规方法） void FillMatrix( int** matrix, int, int,int); //输入原始矩阵 void PrintMatrix( int **Matrix, int length,int width ); //输出矩阵乘法结果 int findN(int l1,int l2,int l3,int l4); //非偶数阶方阵，寻找扩充边界
int main(){ int length1,length2,width1,width2; int** MatrixA; //指向指针的指针，存放矩阵数据 int** MatrixB; int** MatrixC;
cout<<"请输入两个矩阵的规模(先长后宽，第一个组的宽与第二组的长相等): "<<endl; cin>>length1>>width1; cin>>length2>>width2;
int N =findN(length1,length2,width1,width2);
MatrixA = new int *[N]; //开辟一维指针数组，每个数组容量为N MatrixB = new int *[N]; MatrixC = new int *[N];
for (int i = 0; i < N; i++) { MatrixA[i] = new int [N]; //开辟二维数组 ，每个数组容量为N*N MatrixB[i] = new int [N]; MatrixC[i] = new int [N]; }
cout<<"请分别输入两个矩阵的数据："<<endl; FillMatrix(MatrixA,length1,width1,N); FillMatrix(MatrixB,length2,width2,N);
Strassen( N, MatrixA, MatrixB, MatrixC ); cout<<"运算结果为：";
int length3=length1>length2?length1:length2;
PrintMatrix(MatrixC,length1,width2);
return 0;}
//寻找拓展规模N int findN(int l1,int l2,int l3,int l4){ int max,k=1,max1,max2; max1=l1>l2?l1:l2; max2=l3>l4?l3:l4; max=max1>max2?max1:max2; while (true) { if (max<=pow(2,k)) return pow(2,k); k++; } }
//计算矩阵乘法 void Strassen(int N, int **MatrixA, int **MatrixB, int **MatrixC){
int HalfSize = N/2; int newSize = N/2;
if ( N == 2 ) //边界最小规模：二阶矩阵 { MUL(MatrixA,MatrixB,MatrixC); } else { //和主函数里一样，定义指针，开辟空间 int** A11; int** A12; int** A21; int** A22;
int** B11; int** B12; int** B21; int** B22;
int** C11; int** C12; int** C21; int** C22;
int** M1; int** M2; int** M3; int** M4; int** M5; int** M6; int** M7; int** AResult; //result返回结果 int** BResult;
A11 = new int *[newSize]; A12 = new int *[newSize]; A21 = new int *[newSize]; A22 = new int *[newSize];
B11 = new int *[newSize]; B12 = new int *[newSize]; B21 = new int *[newSize]; B22 = new int *[newSize];
C11 = new int *[newSize]; C12 = new int *[newSize]; C21 = new int *[newSize]; C22 = new int *[newSize];
M1 = new int *[newSize]; M2 = new int *[newSize]; M3 = new int *[newSize]; M4 = new int *[newSize]; M5 = new int *[newSize]; M6 = new int *[newSize]; M7 = new int *[newSize];
AResult = new int *[newSize]; BResult = new int *[newSize];
int newLength = newSize;
//同上 for ( int i = 0; i < newSize; i++) { A11[i] = new int[newLength]; A12[i] = new int[newLength]; A21[i] = new int[newLength]; A22[i] = new int[newLength];
B11[i] = new int[newLength]; B12[i] = new int[newLength]; B21[i] = new int[newLength]; B22[i] = new int[newLength];
C11[i] = new int[newLength]; C12[i] = new int[newLength]; C21[i] = new int[newLength]; C22[i] = new int[newLength];
M1[i] = new int[newLength]; M2[i] = new int[newLength]; M3[i] = new int[newLength]; M4[i] = new int[newLength]; M5[i] = new int[newLength]; M6[i] = new int[newLength]; M7[i] = new int[newLength];
AResult[i] = new int[newLength]; BResult[i] = new int[newLength];
}
//拆分A、B矩阵为四个小矩阵 for (int i = 0; i < N / 2; i++) { for (int j = 0; j < N / 2; j++) { A11[i][j] = MatrixA[i][j]; A12[i][j] = MatrixA[i][j + N / 2]; A21[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j]; A22[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];
B11[i][j] = MatrixB[i][j]; B12[i][j] = MatrixB[i][j + N / 2]; B21[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j]; B22[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j + N / 2];
} }
//计算7个中中间矩阵 M //M1=(A11+A22)*(B11+B22) ADD( A11,A22,AResult, HalfSize); ADD( B11,B22,BResult, HalfSize); Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 );
//M2=(A21+A22)*B11 ADD( A21,A22,AResult, HalfSize); Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2);
//M3=A11*(B12-B22) SUB( B12,B22,BResult, HalfSize); Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3);
//M4=A22(B21-B11) SUB( B21, B11, BResult, HalfSize); Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4);
//M5=(A11+A12)B22 ADD( A11, A12, AResult, HalfSize); Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5);
//M6=(A21-A11)(B11+B12) SUB( A21, A11, AResult, HalfSize); ADD( B11, B12, BResult, HalfSize); Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6);
//M7=(A12-A22)(B21+B22) SUB(A12, A22, AResult, HalfSize); ADD(B21, B22, BResult, HalfSize); Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7);
//计算出新矩阵的四个部分C //C11 = M1 + M4 - M5 + M7; ADD( M1, M4, AResult, HalfSize); SUB( M7, M5, BResult, HalfSize); ADD( AResult, BResult, C11, HalfSize);
//C12 = M3 + M5; ADD( M3, M5, C12, HalfSize);
//C21 = M2 + M4; ADD( M2, M4, C21, HalfSize);
//C22 = M1 + M3 - M2 + M6; ADD( M1, M3, AResult, HalfSize); SUB( M6, M2, BResult, HalfSize); ADD( AResult, BResult, C22, HalfSize);
//合并为新矩阵 for (int i = 0; i < N/2 ; i++) { for (int j = 0 ; j < N/2 ; j++) { MatrixC[i][j] = C11[i][j]; MatrixC[i][j + N / 2] = C12[i][j]; MatrixC[i + N / 2][j] = C21[i][j]; MatrixC[i + N / 2][j + N / 2] = C22[i][j]; } }
// 释放空间 for (int i = 0; i < newLength; i++) { delete[] A11[i];delete[] A12[i];delete[] A21[i];delete[] A22[i];
delete[] B11[i];delete[] B12[i];delete[] B21[i];delete[] B22[i];
delete[] C11[i];delete[] C12[i];delete[] C21[i];delete[] C22[i];
delete[] M1[i];delete[] M2[i];delete[] M3[i];delete[] M4[i];delete[] M5[i];delete[] M6[i];delete[] M7[i];
delete[] AResult[i];delete[] BResult[i] ; } delete[] A11;delete[] A12;delete[] A21;delete[] A22; delete[] B11;delete[] B12;delete[] B21;delete[] B22; delete[] C11;delete[] C12;delete[] C21;delete[] C22; delete[] M1;delete[] M2;delete[] M3;delete[] M4;delete[] M5; delete[] M6;delete[] M7; delete[] AResult; delete[] BResult ; }}
//计算矩阵加法 ，记过输入result void ADD(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int MatrixSize ){ for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++) { for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++) { MatrixResult[i][j] = MatrixA[i][j] + MatrixB[i][j]; } }}
//矩阵减法，同上 void SUB(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int MatrixSize ){ for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++) { for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++) { MatrixResult[i][j] = MatrixA[i][j] - MatrixB[i][j]; } }}
//暴力法求解，计算二阶矩阵 void MUL( int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult ){ for (int i=0;i<2 ;i++) { for (int j=0;j<2 ;j++) { MatrixResult[i][j]=0; for (int k=0;k<2 ;k++) { MatrixResult[i][j]=MatrixResult[i][j]+MatrixA[i][k]*MatrixB[k][j]; } } }}
//输入数据 ，填充为偶数阶方阵 void FillMatrix( int** Matrix, int length,int width,int N){ for(int row = 0; row<N; row++) { if (row<length) { for(int column = 0; column<N; column++) { if (column<width) cin>>Matrix[row][column]; else Matrix[row][column]=0; } } else { for(int column = 0; column<N; column++) Matrix[row][column]=0; }
}}
//输出正确规模的新矩阵 void PrintMatrix(int **MatrixA,int length,int width){ cout<<endl; for(int row = 0; row<length; row++) { for(int column = 0; column<width; column++) { cout<<MatrixA[row][column]<<"\t"; if ((column+1)%((width)) == 0) cout<<endl; } } cout<<endl;}
（检验用了小一点的数组，别介意。。。）
03
变 治 法
I don' t konw it' s English name
生活的秘密在于。。。用一个烦恼代替另一个烦恼。
——Charles M. Schulz (1922 - 2000)，美国漫画家
变治法，就是基于变换的一种思想方法，首先把问题的实例变得容易求解，然后进行求解。这个方法的思路类似于数学建模的思路，将生活中的问题进行简单的抽象、归化，以便对此进行研究。它不是一种标准的算法，更多的是一种思考的方式。
变治法的工作可以分成两个阶段：首先把问题变得更容易求解，然后对实例进行求解。根据我们对问题实例的变换方式，变治思想有3种主要的类型：
1.实例化简(Instance simplification)。
2.改变表现(Representation Change).
3.问题化简(Problem reduction).
1.实例化简(Instance simplification)。
指将原问题变换为同样问题的一个更简单或者更方便的实例。
预排序是一个这样的栗子：
预排序并不是一种算法设计策略，而是一种意识，在设计算法时要有这种意识，在算法中作预处理，是一种将实例化简的变治策略。
我们在构建数据时就提前进行排序，处理一些问题时就可以非常方便。
例如检验数组元素的唯一性。如果没有预排序，只用蛮力法，需要经过两轮循环，一个个元素检查，时间复杂度为o（n^2）。 而将数组预排序后，相同的元素就会挨着，扫描一遍比较两侧的数据后即可检验元素唯一性，扫描过程的时间复杂度为o（n）。（当然，排序的时间复杂度会更大）
再如模式计算。模式是指一个序列中出现次数最多的一个数值。 同样，如果用蛮力，逐个检查元素出现的次数，需要两遍扫描，复杂度为o（n^2） 预排序将相同的元素紧挨着，通过一遍扫描，累计元素重复出现过的次数，就可知道出现最多的元素。同上，时间复杂度为o（n）。
同理的还有查找问题，这里就不再说了。代码就是排序，也不写了。
2.改变表现(Representation Change).
指将原问题变换为同样实例的不同表现。
我们介绍一个很经典的栗子：霍纳法则。
在计算多项式时，人为计算一般都是一项一项算；然而，当计算机这样计算时，每次求k次方都需要进行多次乘法，效率相当低。
因此，我们将乘法改变为以下形式：
这样，我们只需要进行n次乘法，通过改变了式子（即问题）的表现形式，大大优化了效率。
代码也非常简单，就不写了。（咱们注重思想哈，不是偷懒）
3.问题化简(Problem reduction).
指将原问题变换为另一个问题的实例，这种问题的算法是已知的。（归化思想）转换的难题在于如何找到一个变换的目标算法。
线性规划就是一个很好的目标。我们这里以背包问题为例。
在之前的文章中，我们曾用回溯法解决01背包问题。实际上，背包问题的本质是线性规划。了解了线性规划的本质后，才能更好地解决高维的背包问题。
在高中大家都学过线性规划。线性规划是一种非常好理解的方法，但我们高中的运用大多局限于二维空间。我们将它拓展到n维空间。
在二维空间里，一条的直线Ax+By+C=0能将二维平面分割为两部分。
同样，在三维空间里，Ax+By+Cz+D=0表示一个二维平面，可以将三维空间分割为两个部分。
那么，拓展到n维呢？
一个(n-1)维的分割线，可以将一个n维物体分作两份。
看这样一条分割线：
A0t0+A1t1+A2t2+...+Antn+An+1=0
我们把n个变量看做n个自变量tn，也就是在n维空间里思考。利用一系列约束条件的方程求出可行域，在寻找最优解——一切就变得想高中时一样好理解，自然而然地上升到了n维。哪怕你不清楚n维空间长什么样，在2、3维空间下思考，起码能让问题变得更形象一些。
那么，对于背包问题，我们可以转化为以下不等式组：
其中ni表示第i个物品取几个，vi表示价值，wi表示重量。
0<=w1n1+w2n2+w3n3+...+wnnn<=W
V= v1n1+v2n2+v3n3+...+vnnn
求V的最大值。
（对01背包问题而言，nk只能取0或1.）
背包问题就这样一步步转化为线性规划的问题啦。然而，这个问题也不那么好解决。这里我们就不解决了，等到未来的某天再填上这个坑吧。（相信我们未来还会再遇到背包问题的）
那么，这期的文章就到这儿结束了。
因为一直觉得总结部分很水，所以这次去掉了。。。
感觉这期的代码都和算法本身关系不大？
的确，这次的算法都不是那么的标准。
但依然提供给我们更多看问题的角度，要学会动态地看问题。
那么，赶完这期的我又要继续忙别的去了。。。
考试在即，无力脱身，让我们下次再见~！