为什么模型复杂度增加时，模型预测的方差会增大，偏差会减小？

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为什么模型复杂度增加时，模型预测的方差会增大，偏差会减小？

作者：徐啸 https://www.zhihu.com/question/351352422/answer/862023291

题主的问题可以理解为：模型复杂度和偏差、方差之间的关系。

首先从逻辑上解释这三者之间的关系。从直觉上看，如果暂且忽略优化问题，模型的复杂度越大(这里的复杂度我觉得理解为模型的“容量、能力”更便于理解)，模型的拟合能力就会越强，也就更容易发生过拟合。

那么这和方差、偏差又有什么关系呢？这里需要对偏差和方差有一定的理解：

• 偏差(Bias)：在不同训练集上训练得到的所有模型的平均性能和最优模型的差异，可以用来衡量模型的拟合能力。
• 方差(Variance)：在不同的训练集上训练得到的模型之间的性能差异，表示数据扰动对模型性能的影响，可以用来衡量模型是否容易过拟合，即模型的泛化能力。

所以，当模型的复杂度增加时，模型的拟合能力得到增强，偏差便会减小，但很有可能会由于拟合“过度”，从而对数据扰动更加敏感，导致方差增大。从模型评价上来看，模型复杂度增加后，出现验证集效果提升，但是测试集效果下降的现象。

接着从偏差-方差分解(Bias-Variance Decomposition)，进行简要阐述，详细内容请见《神经网络与深度学习》的 2.4 节 偏差-方差分解。

为模型的期望错误，

即为偏差，

即为在训练集

上训练得到的模型，

指在不同训练集

上训练得到的所有模型性能的期望值，而

指的是最优模型，也就是上面所说的“在不同训练集上训练得到的所有模型的平均性能和最优模型的差异”。

已

，所以

即为方差，表示在不同的训练集上训练得到的模型之间的性能差异。

通过上述公式，可以深入理解偏差与方差的含义。基于此，我们就可以理解下图中偏差与方差的四种组合情况：

以上个人浅见，如有谬误，还望指明。

作者：汪宇 https://www.zhihu.com/question/351352422/answer/862120414

如果没理解错，这里的assumption是：

模型复杂度增加，模型的能力越强，使得在训练的时候，可以更好地fit training data。

基于这个assumption，那么看这个图：

from: deeplearningbook (Goodfellow, Ian, Yoshua Bengio, and Aaron Courville.Deep learning. MIT press, 2016.)

（模型复杂度，bias， variance）的关系 和 （模型复杂度，underfitting，overfitting）的关系联系的很紧密。

Bias偏差衡量的是你的预测值和真实值的差距，也就是你的模型学的怎么样。在模型capacity不够的情况下，在underfitting的zone里，你预测的值通常跟真实值差距很大，那么bias就会比较大。随着模型capacity增加，模型越来越强，越拟合你真实的数据值，bias会降低。

Variance方差衡量的是‘how we would expect the estimate we compute from data to vary as we independently resample the dataset from the underlying data generating process’（from deeplearningbook)

也就是说，衡量的是你training data如果改变，对你的模型改变大不大。通常来说，如果你的模型capacity增大，那么就更容易overfit，那么training data的改变，就会影响你的模型，也就是方差会增大；相反，如果你的模型underfit，那么training data稍微改变一些，并不会对模型产生较大影响，方差小，模型的波动小。

—完—