深入理解计算机系统cp2：定点数的表示和运算

在深入理解计算机系统cp1：存储单位、数制、编码中解释了字符编码，我们知道了计算机是怎么把字符转化为二进制的；本文将解释数字编码，介绍计算机如何把数字转化为二进制，以及相关的运算问题。

1.定点数的表示

1.1 无符号数

• 定义：无符号数就是没有体现正负号的数（这意味着所有的无符号数实际上都是正数），整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位。以108D为例，它对应的二进制数是 1101100，这实际上也就是它的无符号数，可以看到所有的位都是数值位。
• 表示范围：以八位二进制数为准，范围就是 00000000 到 11111111，也就是 0 到 255

1.2 有符号数

• 定义：有符号数就是有体现正负号的数，整个机器字长的全部二进制位中，最高位作为符号位，0 表示正数，1 表示负数，其余位则是数值位。依然以108D为例，它对应的二进制数是 1101100，而对应的有符号数则要在最前面加上符号位 0，即它的有符号数是 01101100.
• 表示范围：以八位二进制数为准，范围应该是从负数到正数，即从 11111111 到 01111111，也就是 -127 到 127

1.2.1.真值和机器数

• 真值：就是带有正负号的实际十进制数，比如上面例子中，+108D就是真值
• 机器数：机器数就是一个数在计算机中的二进制表示形式，注意机器数是由符号位和数值位构成的，比如上面例子中，01101100 就是机器数。

-156D（真值）= 110011100B(机器数)

1.2.2.原码、反码、补码和移码

(1)原码表示法

简单点理解，原码就是符号位加上真值（二进制）的绝对值，同时用逗号将符号位和数值位隔开。比如，+1 就是 0,0000001，-1 就是 1,0000001。

原码的特点是简单、直观，但是原码在进行加法运算的时候会出现问题。正数加正数或者负数加负数是正常的，但是正数加负数就会出错。比如我们现在想要计算 -1+3，我们心想：-1 是 10000001，+3 是 00000011，加起来得到的是 10000100，所以结果是 -4，但 -1+3 应该是等于 2，所以这个结果是错的。我们发现，本来应该做的是加法运算，但实际上变成了减法运算（-1-3=-4）。

我们首先想到，可以通过将“正数加负数”转化为“正数减正数”来手动纠正这个错误。上面的例子就变成 00000011 减 00000001，结果是 00000010，也就是 2，这个结果是正确的。

但是每次都这样手动转化，计算起来还是太麻烦了。于是我们接着想：有没有一种方法，可以让“正数加负数”中的负数等价于一个正数，从而确保始终进行的是相加操作呢？

于是这时候就引出了补码的概念。

(2)补码表示法

• 补数和模：理解补码之前，我们先来理解两个概念：补数和模。 拿时钟举例，想要从10点拨到8点，有两种做法，一种是逆时针拨2个单位，记作-2；一种是顺时针拨10个单位，记作+10，这两种操作是等效的(有点负数等价于一个正数的意思)。这时候我们就说，-2 是 +10 以 12 为模的补数，记作-2≡+10(mod 12)，同理，-5 相当于 +7，-4 相当于 +8。
• 那么怎么基于补数和模的概念将“正数加负数”转化为“正数加正数” —— 即怎么令负数等价于一个正数呢？假设我们现在有一个寄存器可以存放四位二进制数（此时，模为16），我们想要让 1011 变成 0000，最容易想到的办法就是 1011-1011=0000，注意这里是正数加负数。想要变成正数加正数，就要找到等价于 -1011 的正数，-1011 就是 -11，-11 以 16 为模的补数就是 +5，+5 就是 +0101，这个正是我们要找的那个等价正数，因此这时候，1011-1011 变成了 1011+0101，其结果是 10000，不要忘了寄存器只能存放四位，所以结果其实是 0000，恰好与我们“正数加负数”时得到的结果无异。
• 接着引入补码的概念：
  • 对于正数：正数的补码和原码相同；
  • 对于负数：负数的补码等于其原码在保持符号位不变的情况下，其余各位取反，末位加一（取反加一）。注意，补码的补码等于原码，这可以用来根据补码求原码。
  • 也可以用下图方法计算补码：

还是上面的例子，1011-1011，也就是11-11，我们考虑+11和-11，+11的原码=补码=01011，-11的原码是11011，因此补码是10101，那么01011+10101就会等于100000，因为寄存器是五位的，把前面的1去掉，那么结果就是00000，也就是0，和上面的运算结果一致。

(3)反码表示法

反码很好理解：

• 正数：反码等于原码等于补码；
• 负数：反码等于原码保持符号位不变的情况下其余各位取反。也就是说，补码=反码+1
• 反码的反码等于原码，这可以用来根据反码求原码。

(4)移码表示法

补码存在的问题是，仅从补码本身来看，很难比较两个数的大小，为此引入了移码的概念。移码指的是在真值（二进制）的基础上加上一个偏移量，通常这个偏移量是2^n。其中，n是数值位的位数。例如，对于-10101，其移码是2^7+(-10101)=10000000+(010101)=0,1101011。 当然，我们有简单的方法可以计算一个数的移码：不管正数还是负数，其移码都等于补码的符号位取反。

2.定点数的加减运算

2.1 补码的加减运算

定点数的加减运算实际上就是补码的加减运算。我们来看一个例子：

假设机器字长为 8 位（含1位符号位），A=15，B=-24，现在求 A+B 和 A-B。

A 的补码是 0,0001111，B 的补码是 1,1101000，那么 0,0001111+1,1101000=1,1110111，转化为原码，再转化为真值，得到 -9，这是正确的。同理，A-B 就是 A+(-B)，-B 的补码是 0,0011000，那么 0,0001111+0,0011000=0,0100111，最后转化为真值，得到 +39，这也是正确的。 我们再来看另一个例子：

假设机器字长为 8 位（含1位符号位），A=15，B=-24，C=124，现在求 A+C 和 B-C。

我们同样按照上面的流程来进行计算，最后得出：A+C 结果是 -117，B-C 结果是 +108，这两个都是错误的。为什么会出现这样的情况呢？

2.2 溢出

这种情况就叫溢出。出现的原因，简单来说就是：运算结果太大了，或者运算结果太小了。就上面的题而言，8 位二进制数所能表示的数字的范围是有限的，当正数加正数的时候，结果可能过大，超出了最大值，此时称为上溢；当负数加负数的时候，结果可能过小，够不到最小值，此时称为下溢。如下图所示：

我们拿 3 位二进制数来理解这个问题。假设 3 位二进制数可以表示的范围如下：

现在我们进行 2+2 操作，那么就是 010+010，结果就是 100，这已经超出了正数可以表示的最大范围，也就是发生了上溢。所以此时得到的是 -4，这是一个错误的结果。

2.3 溢出的判断

前面说过，溢出的原因要么是运算结果太大，要么是运算结果太小，其实从这句话我们可以看出，正数和负数相加是不会发生溢出的，因为其结果必然在可以表示的范围内，唯一可能会发生溢出的情况，要么是正数加正数，要么是负数加负数。那么，如何判断在这两种情况下是否会发生溢出呢？有三个方法：

(1) 一位符号位：比较操作数符号位与结果数符号位

我们还是拿上面的第二个例子解释：

可以看到，A+C 中，两个操作数符号位都是 0，也就是都是正数，但结果数的符号位却是 1 ，也就是负数，那么很明显它发生了上溢；

同理，B-C 中，两个操作数符号位都是 1，也就是都是负数，但结果数的符号位却是 0，也就是正数，那么很明显它发生了下溢。

(2) 一位符号位：看符号位与最高数值位的进位情况

看第一个式子，进行运算的时候，符号位没有产生进位，但是最高数值位向前产生了进位，这时候判断它发生了上溢； 看第二个式子，进行运算的时候，最高数值位没有产生进位，但是符号位向前产生了进位，这时候判断它发生了下溢。

(3) 两位符号位：

这种方法是将一位符号位改为两位符号位表示：正数符号为 00，负数符号为 11。那么前面的例子就会变为：

这时候，计算机只需要看结果数就能知道是否发生溢出 —— 只要结果数的两位符号位相异，那么就一定是发生了溢出。 同理，我们回过头看第一个没有溢出的例子：

可以发现两次运算的结果数的两位符号位都是一样的，由此判断这两次运算都没有发生溢出。

参考： https://www.bilibili.com/video/av66952721