矩阵求导术（下）
本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。
首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵对矩阵的导数应包含所有mnpq个偏导数，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量对向量的导数 ；再定义矩阵的（按列优先）向量化，并定义矩阵F对矩阵X的导数。导数与微分有联系。几点说明如下：
- 按此定义，标量对矩阵的导数是向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号表示上篇定义的矩阵，则有。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
- 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为，是对称矩阵。对向量或矩阵求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 f出发更方便。
- ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新，满足。
- 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于中每个子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。
然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：
- 线性：。
- 矩阵乘法：，其中表示Kronecker积，与的Kronecker积是。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
- 转置：，A是矩阵，其中是交换矩阵(commutation matrix)。
- 逐元素乘法：，其中是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至左侧，即能得到导数。
再谈一谈复合：假设已求得，而Y是X的函数，如何求呢？从导数与微分的联系入手， ，可以推出链式法则。
和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：
- 。
- 。
- 。可以对求导来证明，一方面，直接求导得到；另一方面，引入，有, ，用链式法则得到。
- 。
- ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对做向量化来证明，一方面，；另一方面，。
接下来演示一些算例。
例1：，是矩阵，求。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：，对照导数与微分的联系得到。
特例：如果退化为向量， ，则根据向量的导数与微分的关系 ，得到 。
例2： ，是矩阵，求和。
解：使用上篇中的技术可求得 。为求，先求微分：，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧，对照导数与微分的联系，得到，注意它是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为。
例3：，是，是，是矩阵，为逐元素函数，求。
解：先求微分：，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：，再用逐元素乘法的技巧：，再用矩阵乘法的技巧：，对照导数与微分的联系得到。
例4【一元logistic回归】：。其中是取值0或1的标量，,是向量。
解：使用上篇中的技术可求得，其中为sigmoid函数。为求，先求微分： ，其中为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到。
推广：样本, , ，，求和。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵，向量，将l写成矩阵形式，进而可以求得。
例5【多元logistic回归】：，求和 。
解：上篇例3中已求得。为求，先求微分：定义，，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 ，第二项中，故有，其中 ，代入有，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到。
最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是。
参考资料：
- 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
- Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
- Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
- HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).