在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵;与之相反,若非0元素数目占大多数时,则称该矩阵为稠密矩阵。定义非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。
特性: 1.稀疏矩阵其非零元素的个数远远小于零元素的个数,而且这些非零元素的分布也没有规律。 2.稀疏因子是用于描述稀疏矩阵的非零元素的比例情况。设一个n*m的稀疏矩阵A中有t个非零元素,则稀疏因子δδ的计算公式如下:δ=tn∗mδ=tn∗m(当这个值小于等于0.05时,可以认为是稀疏矩阵)
矩阵压缩
存储矩阵的一般方法是采用二维数组,其优点是可以随机地访问每一个元素,因而能够较容易地实现矩阵的各种运算,如转置运算、加法运算、乘法运算等。
对于稀疏矩阵来说,采用二维数组的存储方法既浪费大量的存储单元用来存放零元素,又要在运算中花费大量的时间来进行零元素的无效计算。所以必须考虑对稀疏矩阵进行压缩存储。
最常用的稀疏矩阵存储格式主要有:COO(Coordinate Format)和CSR(Compressed Sparse Row)。
COO很简单,就是使用3个数组,分别存储全部非零元的行下标(row index)、列下标(column index)和值(value);CSR稍复杂,对行下标进行了压缩,假设矩阵行数是m,则压缩后的数组长度为m+1,记作(row ptr),其中第i个元素(0-base)表示矩阵前i行的非零元个数。
这是最简单的一种格式,每一个元素需要用一个三元组来表示,分别是(行号,列号,数值),对应上图右边的一列。这种方式简单,但是记录单信息多(行列),每个三元组自己可以定位,因此空间不是最优。
CSR是比较标准的一种,也需要三类数据来表达:数值,列号,以及行偏移。CSR不是三元组,而是整体的编码方式。数值和列号与COO一致,表示一个元素以及其列号,行偏移表示某一行的第一个元素在values里面的起始偏移位置。如上图中,第一行元素1是0偏移,第二行元素2是2偏移,第三行元素5是4偏移,第4行元素6是7偏移。在行偏移的最后补上矩阵总的元素个数,本例中是9。
CSC是和CSR相对应的一种方式,即按列压缩的意思。 以上图中矩阵为例: Values: [1 5 7 2 6 8 3 9 4] Row Indices:[0 2 0 1 3 1 2 2 3] Column Offsets:[0 2 4 7 9]
用两个和原始矩阵相同行数的矩阵来存:第一个矩阵存的是列号,第二个矩阵存的是数值,行号就不存了,用自身所在的行来表示;这两个矩阵每一行都是从头开始放,如果没有元素了就用个标志比如*结束。上图中间矩阵有误,第三行应该是 0 2 3。
注:这样如果某一行很多元素,那么后面两个矩阵就会很胖,其他行结尾*很多,浪费。可以存成数组,比如上面两个矩阵就是:
0 1 * 1 2 * 0 2 3 * 1 3 *
1 7 * 2 8 * 5 3 9 * 6 4 *
但是这样要取一行就比较不方便了
对角线存储法,按对角线方式存,列代表对角线,行代表行。省略全零的对角线。(从左下往右上开始:第一个对角线是零忽略,第二个对角线是5,6,第三个对角线是零忽略,第四个对角线是1,2,3,4,第五个对角线是7,8,9,第六第七个对角线忽略)。[3]
这里行对应行,所以5和6是分别在第三行第四行的,前面补上无效元素*。如果对角线中间有0,存的时候也需要补0,所以如果原始矩阵就是一个对角性很好的矩阵那压缩率会非常高,比如下图,但是如果是随机的那效率会非常糟糕。
为了解决(3)ELL中提到的,如果某一行特别多,造成其他行的浪费,那么把这些多出来的元素(比如第三行的9,其他每一行最大都是2个元素)用COO单独存储。
1、DIA和ELL格式在进行稀疏矩阵-矢量乘积(sparse matrix-vector products)时效率最高,所以它们是应用迭代法(如共轭梯度法)解稀疏线性系统最快的格式;
2、COO和CSR格式比起DIA和ELL来,更加灵活,易于操作;
3、ELL的优点是快速,而COO优点是灵活,二者结合后的HYB格式是一种不错的稀疏矩阵表示格式;
4、根据Nathan Bell的工作,CSR格式在存储稀疏矩阵时非零元素平均使用的字节数(Bytes per Nonzero Entry)最为稳定(float类型约为8.5,double类型约为12.5),而DIA格式存储数据的非零元素平均使用的字节数与矩阵类型有较大关系,适合于StructuredMesh结构的稀疏矩阵(float类型约为4.05,double类型约为8.10),对于Unstructured Mesh以及Random Matrix,DIA格式使用的字节数是CSR格式的十几倍;
5、从我使用过的一些线性代数计算库来说,COO格式常用于从文件中进行稀疏矩阵的读写,如matrix market即采用COO格式,而CSR格式常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算。
参考文档
https://blog.csdn.net/gggg_ggg/article/details/47402459
https://blog.csdn.net/yhb1047818384/article/details/78996906
https://www.jianshu.com/p/ae7df5582cb3