股票问题-LeetCode #121、122、309、714、123、188（一解6杀，状态转移）

作者：TeddyZhang，公众号：算法工程师之路

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编程题

dp初始化: dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0 dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程： dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i]) dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i])

注意：k表示买的次数，因此从dp[i-1][k-1][0]进行一次buy，就会变成dp[i][k][1], 同样的，dp[i-1][k][1]进行一次sell，就会变成dp[i][k][0]

详细解释请参考题解，感谢作者的解释和翻译（原题解在英文版中）最后两道优化内存可以参考别人的方案：

英文原文：https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/discuss/108870/Most-consistent-ways-of-dealing-with-the-series-of-stock-problems

中文版：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/solution/yi-ge-fang-fa-tuan-mie-6-dao-gu-piao-wen-ti-by-lab/

【LeetCode #121】买卖股票的最佳时机

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。 如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。 注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1: 输入: [7,1,5,3,6,4] 输出: 5 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

解题思路：

在本题中，k = 1, 因此递推式中的dp[i-1][k-1][0] = dp[i-1][0][0] = 0, 并且将k变量去掉后，递推式中就只剩下两个变量的关系了，因此可以直接用两个变量表示，不再需要dp矩阵。

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int dp_i_0 = , dp_i_1 = INT_MIN;
        for(int i = ; i < prices.size(); i++){
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);
            dp_i_1 = max(dp_i_1, -prices[i]);
        }
        return dp_i_0;
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock

【LeetCode #122】买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1: 输入: [7,1,5,3,6,4] 输出: 7 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

解题思路：

在本题中k的值相当于是正无穷，因此dp[i-1][k-1][0]也就相当于dp[i-1][0], 因此递推式还是只和两个变量有关，注意的是由于dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);会使得dp_i_0的值变化，因此需要先保存一下，用于下一个递推式！

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int dp_i_0 = , dp_i_1 = INT_MIN;
        for(int i = ; i < prices.size(); i++){
            int tmp = dp_i_0;
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);
            dp_i_1 = max(dp_i_1, tmp-prices[i]);
        }
        return dp_i_0;
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii

【LeetCode #309】最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例: 输入: [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

解题思路：

本题中k依然是正无穷，不同的是，本次有冷冻期，也就是卖出了之后，会进入一天的冷冻期时间。因此递推式需要修改一下： dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i]) dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-2][0]-prices[i]) 但是由于k是正无穷，因此k-2和k都一样，还是可以消除。但k-2也需要使用上题保存k-1的方法进行保存，有人问，第一题的k-1为什么没有保存，emmm, 第一题的k为定值，也就是1 ，从而dp[i][0][0] = 0.

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int dp_i_0 = , dp_i_1 = INT_MIN;
        int dp_pre_0 = ;    // dp[-2][0]
        for(int i = ; i < prices.size(); i++){
            int tmp = dp_i_0; //保存上一个值dp[i-1][0]
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);
            dp_i_1 = max(dp_i_1, dp_pre_0-prices[i]);
            dp_pre_0 = tmp;   // 保存上上一个值dp[i-2][0]
        }
        return dp_i_0;
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown

【LeetCode #714】买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。 你可以无限次地完成交易，但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。 返回获得利润的最大值。

示例 1: 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出: 8 解释: 能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

解题思路：

相比之前的思路，只是多加了fee，因此递推式可以变成如下： dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1]+prices[i]) dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0]-prices[i]-fee)

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int dp_i_0 = , dp_i_1 = INT_MIN;
        for(int i = ; i < prices.size(); i++){
            int tmp = dp_i_0;
            dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);
            dp_i_1 = max(dp_i_1, tmp-prices[i]-fee);
        }
        return dp_i_0;
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee

【LeetCode #123】买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。 注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1: 输入: [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出: 6 解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

解题思路：

依然是刚才的递推式，不过此时k的值不再是一个定值了，而是最多可以完成两笔交易！因此我们需要遍历k这个维度了，因此我们可以使用一个三维的dp向量，虽然不用想速度很慢，但和我们之间的思路一样容易理解！ 注意在base case阶段，我们不直接赋值负无穷，而是直接进行一次递推式的计算，将得到的值赋值给dp[i][k][0]和dp[i][k][1]，其中k从1开始，因为0的话没有意义！

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int maxk = ;
        int n = prices.size();
        vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(maxk+, vector<int>()));
        if(prices.size() == ) return ;
        for(int i = ; i < n; i++){
            for(int k = ; k <= maxk; k++){   // k从零开始
                if(i-1 == -1){    // base case
                    dp[i][k][] = ;
                    dp[i][k][] = -prices[i];   // dp[-1][k][0] = 0
                    continue;
                }
                dp[i][k][] = max(dp[i-1][k][], dp[i-1][k][]+prices[i]);
                dp[i][k][] = max(dp[i-1][k][], dp[i-1][k-1][]-prices[i]);
            }
        }
        return dp[n-1][maxk][];
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii

【LeetCode #188】买卖股票的最佳时机 IV

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。 注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1: 输入: [2,4,1], k = 2 输出: 2 解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

解题思路：

和上一题目的区别在于这道题的k是可以自己设置的，因此只需要将maxk从2变成k就好了！但这样会出现内存错误，可能是dp向量太大的缘故，因此我们可以分析k的有效性，由于一次交易包括买入卖出两个操作，故至少需要两天的时间，因此买入的天数k应该小于n/2，否则就相当于正无穷！可以使用两个变量进行表示了！

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int maxk = k;
        int n = prices.size();
        if(maxk > n/){    // maxk 如果大于n/2,则相当于是k为正无穷
            int dp_i_0 = , dp_i_1 = INT_MIN;
            for(int i = ; i < prices.size(); i++){
                int tmp = dp_i_0;
                dp_i_0 = max(dp_i_0, dp_i_1+prices[i]);
                dp_i_1 = max(dp_i_1, tmp-prices[i]);
            }
            return dp_i_0;
        }
        vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(maxk+, vector<int>()));
        if(prices.size() == ) return ;
        for(int i = ; i < n; i++){
            for(int k = ; k <= maxk; k++){   // k从零开始
                if(i-1 == -1){    // base case
                    dp[i][k][] = ;
                    dp[i][k][] = -prices[i];   // dp[-1][k][0] = 0
                    continue;
                }
                dp[i][k][] = max(dp[i-1][k][], dp[i-1][k][]+prices[i]);
                dp[i][k][] = max(dp[i-1][k][], dp[i-1][k-1][]-prices[i]);
            }
        }
        return dp[n-1][maxk][];
    }
};

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv